Середина отрезка

Шаги построения

Шаг 1 · Окружность из A

Возьмите раствор AB (циркуль в A, затем в B) — окружность с центром A построится сразу.

→ Нажмите A, затем B

Шаг 2 · Окружность из B

Тем же раствором проведите окружность с центром в B. Окружности пересекутся в P и Q.

→ Нажмите B

Шаг 3 · Линейка

Проведите прямую через P и Q.

→ Нажмите P и Q в любом порядке

Шаг 4 · Середина

Прямая PQ пересекает AB в точке O — это середина. Отметьте её.

→ Нажмите на точку O

Почему O — середина, а PQ ⊥ AB?

Дано: отрезок AB; окружности равного радиуса AB с центрами A и B пересекаются в P и Q; прямая PQ пересекает AB в точке O.
Доказать: AO = OB и PQ ⊥ AB.
Доказательство:

AP = BP и AQ = BQ — радиусы равных окружностей.
△APQ = △BPQ по трём сторонам (PQ — общая), значит ∠1 = ∠2 (углы при вершине P).
Тогда в △APB отрезок PO — биссектриса угла при вершине P, а △APB равнобедренный (AP = BP).
В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведённая к основанию, является медианой и высотой.
Значит, AO = OB (O — середина) и PO ⊥ AB, то есть PQ ⊥ AB.

Следовательно, O — середина отрезка AB, а PQ — серединный перпендикуляр к нему.

▮ ч.т.д.