Шаги построения
Шаг 1 · Равные отрезки
Циркуль в M, затем щёлкните по прямой a: появится засечка A, а симметрично ей — B (так MA = MB).
→ Нажмите M, затем точку на прямой a
Шаг 2 · Окружность из A
Раствором, равным AB, проведите окружность с центром в A.
→ Нажмите A, затем повторите раствор
Шаг 3 · Окружность из B
Тем же раствором проведите окружность с центром в B. Окружности пересекутся в P и Q.
→ Нажмите B, затем повторите раствор
Шаг 4 · Линейка
Проведите прямую через P и Q (она пройдёт через M) — это искомый перпендикуляр.
→ Нажмите P и Q в любом порядке
Почему PQ ⊥ a?
Дано: прямая a, точка M на ней; MA = MB на прямой; окружности равного радиуса AB с центрами A и B пересекаются в P и Q.
Доказать: прямая PQ перпендикулярна прямой a.
Доказательство:
Дано: прямая a, точка M на ней; MA = MB на прямой; окружности равного радиуса AB с центрами A и B пересекаются в P и Q.
Доказать: прямая PQ перпендикулярна прямой a.
Доказательство:
- PA = PB (радиусы равных окружностей), значит △PAB равнобедренный.
- В нём M — середина основания AB (так как MA = MB по построению), поэтому PM — медиана.
- В равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, является и высотой.
- Значит, PM ⊥ AB, то есть PM ⊥ a.
- Точка Q также равноудалена от A и B (QA = QB), поэтому Q лежит на той же прямой PM.
▮ ч.т.д.