Признак доказан. Если накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. Доказательство собрано из того, что уже знаем:

1. O — середина AB; провели OH ⊥ a и отложили BN = AH;
2. △OHA = △ONB — по первому признаку равенства треугольников (AO = BO, ∠1 = ∠2, AH = BN);
3. значит ∠ONB = ∠OHA = 90°, то есть b ⊥ HN;
4. а ещё a ⊥ HN — обе прямые перпендикулярны HN;
5. две прямые, перпендикулярные третьей, не пересекаются (доказано в главе I) ⟹ a ∥ b. ∎

Это рассуждение годится для любых прямых — не только для нашего чертежа. Соответственные и односторонние признаки выводятся отсюда через вертикальные и смежные углы.