Через точку — одна параллель

∥ Через точку — одна параллель

Глава III · §2 · тренажёр 1 из 4 — аксиома параллельных прямых

—

Аксиома параллельных прямых. Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.
Эту аксиому мы принимаем без доказательства — и то, что параллельная есть, и то, что она единственная. (Провести такую прямую через M и правда можно — перпендикуляр к перпендикуляру, рис. 115.)

Аксиома не одна. В этой же главе названы ещё три — их мы тоже принимаем без доказательства:
• через две точки проходит одна прямая — пользуемся постоянно;
• от начала луча можно отложить равный отрезок, и притом один — так мы сравнивали отрезки;
• ★ от луча можно отложить равный угол, и притом один — на ней скоро будет держаться доказательство свойства параллельных.

Утверждения, которые выводятся прямо из аксиомы, называют следствиями. Из этой аксиомы вытекают два важных факта — о них следующий тренажёр: Следствия из аксиомы →

✦ За страницами учебника. Самое удивительное в этой аксиоме — слова «только одна». Веками математикам казалось, что единственность можно доказать, и они пытались — со времён Евклида (это его пятый постулат). Не вышло ни у кого. Огромную роль здесь сыграл Н. И. Лобачевский (1792–1856): он построил геометрию, где через точку проходит много прямых, параллельных данной, — и она оказалась столь же непротиворечивой, как привычная (такая геометрия описывает, например, искривлённое пространство). Значит «только одна» — это выбор для плоскости, а не логическая неизбежность. Оттого и аксиома.