задание 8 · краткий ответ · производная и первообразная

Производная по графику

Половина ошибок в задании 8 — не про математику, а про невнимательность: перепутали, что на рисунке — функция или её производная. Здесь это доводится до автоматизма.

Одна картинка — два графика

Двигайте точку: наверху — функция f и касательная к ней, внизу — производная f′. Следите, как знак нижнего графика повторяет наклон верхнего.

x₀

Четыре опоры + первообразная

Знак → наклон. f возрастает ⇔ f′ > 0; убывает ⇔ f′ < 0. Целые точки промежутков возрастания — это точки, где f′ положительна.

Смена знака → экстремум. Максимум f там, где f′ меняет «+» на «−»; минимум — где «−» на «+». Ноль без смены знака — не экстремум.

Касательная = число. f′(x₀) — угловой коэффициент касательной: k = Δy / Δx по клеткам. Вниз — значит отрицательный.

Параллельность. Касательная параллельна прямой y = kx + b ⇔ f′(x) = k. Считаем, сколько раз график f′ пересекает уровень k.

Первообразная. F′ = f: для пары «F и f» работают те же правила, сдвинутые на строку. F возрастает там, где f > 0; экстремумы F — в нулях f со сменой знака.

Физический смысл. Скорость — производная координаты: v(t) = x′(t). «Найдите скорость» — продифференцируй и подставь.

Что на рисунке и что делаем?

Читаем формулировку. Сначала определи, чей график дан, затем выбери верный план действий. Серия из правильных ответов подряд: 0

Дан график…

Зачёт: 10 задач подряд