Неравенства · ЕГЭ
🎓 Режим занятия включён. Слева — тренажёр курса, справа откройте свою доску (например, Zoom). Сначала разберите пример сами, потом задавайте ученику вопросы (они в блоке «для занятия» под каждым модулем), а в конце — домашка.
Профильная математика · развёрнутая часть

Научитесь видеть, где
неравенство выполняется.

Справочные материалы КИМ — этот листок выдают на экзамене
sin 2α = 2 sin α · cos α
cos 2α = cos²α − sin²α
sin (α + β) = sin α · cos β + cos α · sin β
cos (α + β) = cos α · cos β − sin α · sin β

Из этих четырёх выводится многое: замените β на −β — получите формулы разности (sin меняет знак, cos — нет); подставьте sin²α = 1 − cos²α в cos 2α — выйдет cos 2α = 1 − 2sin²α = 2cos²α − 1, а отсюда — понижение степени. Наизусть остаются: основное тождество sin²α + cos²α = 1, табличные значения и формулы приведения — их листок не выдаёт.

Полный интерактивный курс по всем типам неравенств ЕГЭ — от метода интервалов до логарифмов. Каждая тема построена на методике учебника С. А. Шестакова и снабжена тренажёрами и живыми графиками, на которых решение видно глазами.

8типов неравенств
15+интерактивных тренажёров
35+графиков и схем

Программа курса

Один фундамент и восемь самостоятельных тем. Сначала пройдите «Общие методы» — а дальше открывайте любой раздел в любом порядке: темы независимы.

Как заниматься

Начните с модуля «Общие методы» — это фундамент, его приёмы работают во всех темах. После него разделы независимы: можно идти по порядку, а можно сразу к нужному (например, к логарифмам) — в конце «Общих методов» есть выбор раздела, и любой пункт доступен на панели слева.

🎓 Режим занятия (кнопка вверху справа) перестраивает курс под живой урок: панель убирается, тренажёр занимает весь экран — удобно показать слева, а свою доску открыть справа. Под каждым модулем появляется блок «для занятия»: вопросы ученику, что построить на доске и домашка с ответами. А когда видите ошибку в тренажёре — это лучший момент: жмите «Разобрать до атомов» и доводите тему до конца.

Отмечайте пройденные модули кнопкой внизу страницы — прогресс виден на панели слева.

Методическая основа: С. А. Шестаков. «ЕГЭ. Математика. Неравенства и системы неравенств» (М.: МЦНМО, 2019). Курс — учебный тренажёр по материалам пособия.
Модуль 1 · фундамент

Общие методы решения неравенств

Эти приёмы не привязаны к конкретному типу неравенства — они работают и для рациональных, и для тригонометрических, и для логарифмических. Освойте их здесь, и в следующих модулях останется лишь добавлять специфику каждой темы.

Основные понятия

Решить неравенство — значит найти все значения переменной, при которых оно верно. Почти любое неравенство равносильными преобразованиями приводят к стандартному виду \(f(x)\vee 0\), где \(\vee\) — один из знаков \(>,\ <,\ \geq,\ \leq\).

Ключевое требование — равносильность: преобразование не должно ни терять решения, ни добавлять лишние. Главный источник ошибок — изменение области допустимых значений (ОДЗ): её сужают неаккуратные действия с корнями и логарифмами, а расширяет «освобождение» от знаменателя.

Нельзя умножать неравенство на выражение неизвестного знака. Например, переход \(\dfrac{a(x)}{b(x)}>0 \Rightarrow a(x)>0\) — грубая ошибка: знак дроби зависит и от знака знаменателя. Всё переносят в одну часть и приводят к общему знаменателю.

Метод интервалов — главный инструмент

Непрерывная функция может сменить знак только в своих нулях и в точках разрыва. Значит, нули разбивают область определения на промежутки, и внутри каждого знак функции постоянен. Алгоритм:

Алгоритм метода интервалов
1. Привести к стандартному виду \(f(x)\vee 0\).
2. Найти ОДЗ (область определения \(f\)) и отметить её на оси.
3. Найти нули — корни уравнения \(f(x)=0\). Для строгого неравенства их «выкалывают» (○), для нестрогого — закрашивают (●).
4. Определить знак \(f\) на каждом промежутке по пробной точке и выписать ответ.
Знаки на соседних промежутках чередуются не всегда (например, у нуля чётной кратности знак не меняется). На экзамене надёжнее честно проверить пробную точку в каждом промежутке.

Лестница решения: пять ступеней

Любое неравенство проходит одни и те же ступени. Поднимайтесь по одной — и смотрите, как на прямой шаг за шагом рождается ответ.

Тренажёр: расставьте знаки и соберите ответ

Перед вами разложенное на множители неравенство. Определите знак на каждом промежутке, затем выделите промежутки, входящие в ответ, и проверьте себя.

Разложение на множители и группировка

Чтобы применить метод интервалов, неравенство сперва раскладывают на множители: выносят общий множитель, группируют слагаемые, применяют формулы сокращённого умножения.

Пример
Решите неравенство \(x^2\cdot 2^x + 36 \leq 4x^2 + 9\cdot 2^x\).
Показать решение

Перенесём всё влево и сгруппируем: \(\big(x^2\cdot 2^x - 4x^2\big) - \big(9\cdot 2^x - 36\big)\leq 0\).

Вынесем общий множитель в каждой скобке: \(x^2(2^x-4) - 9(2^x-4)\leq 0\), то есть \((2^x-4)(x^2-9)\leq 0\).

Множитель \(2^x-4\) положителен при \(x>2\) и отрицателен при \(x<2\); множитель \(x^2-9\) — стандартно. Методом интервалов получаем:

\((-\infty;-3]\cup[2;3]\)

Введение новой переменной

Если в неравенстве несколько раз встречается одно и то же выражение, его обозначают новой буквой. Неравенство становится проще (часто — квадратным), а после решения делают обратную замену.

Пример
Решите неравенство \(x^4 - 5x^2 + 4 < 0\).
Показать решение

Замена \(t=x^2\geq 0\) даёт \(t^2-5t+4<0\), то есть \((t-1)(t-4)<0\), откуда \(1< t<4\).

Обратная замена: \(1< x^2<4\). Это система \(x^2>1\) и \(x^2<4\), то есть \(|x|>1\) и \(|x|<2\).

\((-2;-1)\cup(1;2)\)

Свойства функций (нестандартные приёмы)

Когда стандартные методы буксуют, помогают монотонность и ограниченность.

Монотонность
Если \(f\) возрастает, \(g\) убывает и \(f(x_0)=g(x_0)\), то на ОДЗ \(f(x)\geq g(x)\Leftrightarrow x\geq x_0\).

Пример: \(2^x + x \geq 3\). Слева — возрастающая функция, при \(x=1\) она равна \(3\). Значит, ответ — \([1;+\infty)\).

Ограниченность
Если \(f(x)\leq A\) и \(g(x)\geq A\), то \(f(x)\geq g(x)\) возможно только при \(f(x)=g(x)=A\).

Пример: \(\cos x \geq 1+x^2\). Слева \(\leq 1\), справа \(\geq 1\); равенство — только при \(\cos x=1\) и \(x=0\). Ответ: \(x=0\).

Метод знакотождественных множителей

Два выражения называют знакотождественными на множестве, если в каждой его точке они имеют одинаковый знак (и одновременно обращаются в нуль). В произведении или дроби любой множитель можно заменить на знакотождественный — это резко упрощает иррациональные и логарифмические неравенства.

ВыражениеЗнакотождественноУсловие
\(a^{f}-a^{g}\)\((a-1)(f-g)\)\(a>0\)
\(\log_c u-\log_c v\)\(u-v\)\(c>1,\ u,v>0\)
\(\log_{c(x)} u\)\(\dfrac{u-1}{c-1}\)\(u>0,\ c>0\)
\(\sqrt[2k+1]{f}-\sqrt[2k+1]{g}\)\(f-g\)всегда
\(\sqrt{f}-\sqrt{g}\)\(f-g\)\(f,g\geq 0\)
\(\,|f|-\sqrt{g}\,\)\(f^2-g\)\(g\geq 0\)
К этим парам мы вернёмся в модулях по иррациональным и логарифмическим неравенствам — там они экономят больше всего времени.

Проверь себя

Решите самостоятельно, затем откройте ответ.

Задача 1
\((x-1)(x+2)(x-4)>0\)
Показать ответ

Нули \(-2,\ 1,\ 4\); знаки чередуются. Берём промежутки со знаком «\(+\)».

\((-2;1)\cup(4;+\infty)\)
Задача 2
\((x+3)^2(x-2)\leq 0\)
Показать ответ

У корня \(x=-3\) чётная кратность — знак там не меняется. Множитель \((x+3)^2\geq0\), поэтому решает знак \((x-2)\); не забываем сам нуль \(x=-3\) (нестрогое неравенство).

\(\{-3\}\cup(-\infty;2]\)
Задача 3
\((x^2-4)^2 - (x^2-4) - 2 \geq 0\)
Показать ответ

Замена \(t=x^2-4\): \(t^2-t-2\geq0\Rightarrow(t-2)(t+1)\geq0\Rightarrow t\leq-1\) или \(t\geq2\). Обратно: \(x^2-4\leq-1\) даёт \(x^2\leq3\); \(x^2-4\geq2\) даёт \(x^2\geq6\).

\((-\infty;-\sqrt6\,]\cup[-\sqrt3;\sqrt3\,]\cup[\sqrt6;+\infty)\)
Модуль 2 · целые неравенства

Линейные и квадратные неравенства

Целые неравенства — это \(f(x)\vee0\), где \(f\) — многочлен. Линейные и квадратные среди них самые частые, и именно они лежат в основе почти каждой задачи: к ним сводится финал после всех замен и преобразований.

Линейные неравенства

Неравенство \(ax+b\vee0\) при \(a\neq0\) решается за один шаг: \(x\vee -\dfrac{b}{a}\), причём при делении на отрицательное \(a\) знак неравенства меняется.

Если после приведения подобных переменная исчезла, отвечайте по смыслу: \(0>5\) — решений нет, \(0\leq21\) — верно при любом \(x\).

Квадратные неравенства

Решение \(ax^2+bx+c\vee0\) определяется всего двумя вещами: знаком старшего коэффициента \(a\) и знаком дискриминанта \(D=b^2-4ac\).

Сначала сделайте \(a>0\): если \(a<0\), умножьте обе части на \(-1\) и поменяйте знак неравенства. Это вдвое сокращает число случаев и резко снижает число ошибок.

Для базового неравенства (с \(a>0\)) геометрия проста: парабола ветвями вверх, и нас интересует, где она выше/ниже оси.

Случай\(>0\)\(<0\)
\(D>0\)\((-\infty;x_1)\cup(x_2;+\infty)\)\((x_1;x_2)\)
\(D=0\)\(x\neq x_0\)нет решений
\(D<0\)все \(x\)нет решений

Для нестрогих \(\geq,\leq\) добавляются сами корни: «между корнями» становится \([x_1;x_2]\), при \(D=0\) и \(\leq0\) ответ \(\{x_0\}\), при \(D<0\) и \(\geq0\) — все \(x\).

Подбор корней без дискриминанта

Если корни рациональны, их быстро находят подбором: для \(ax^2+bx+c\) ищут два числа с произведением \(a\cdot c\) и суммой \(-b\), а затем делят их на \(a\).

Пример
Решите неравенство \(4x^2 - 15x + 9 > 0\).
Показать решение

Ищем числа с произведением \(4\cdot9=36\) и суммой \(15\): это \(3\) и \(12\). Делим на \(4\): корни \(0{,}75\) и \(3\).

Старший коэффициент положителен, знак «\(>\)» — берём промежутки «за корнями».

\((-\infty;0{,}75)\cup(3;+\infty)\)

Проверь себя

Решите, затем сверьтесь.

Задача 1
\(x^2 - 9x + 14 \leq 0\)
Показать ответ

Корни \(2\) и \(7\), знак «\(\leq\)» — промежуток между корнями вместе с концами.

\([2;7]\)
Задача 2
\(-x^2 + 4x - 5 < 0\)
Показать ответ

Умножаем на \(-1\): \(x^2-4x+5>0\). Дискриминант \(16-20<0\), \(a>0\) — выражение всюду положительно.

все \(x\in\mathbb{R}\)
Задача 3
\(9x^2 - 73x + 8 \leq 0\)
Показать ответ

Числа с произведением \(72\) и суммой \(73\): \(1\) и \(72\). Делим на \(9\): корни \(\tfrac19\) и \(8\).

\(\left[\tfrac19;\ 8\right]\)
Модуль 3 · дробно-рациональные

Дробно-рациональные неравенства

Здесь переменная стоит и в знаменателе. Главное правило одно — и нарушают его постоянно: знаменатель не убирают. Его знак влияет на знак всей дроби, поэтому работаем со всей дробью сразу.

Как решать

Схема
1. Перенести всё в одну часть, получив \(\dfrac{P(x)}{Q(x)}\vee0\).
2. Привести к общему знаменателю — не домножать на знаменатель.
3. Применить метод интервалов к числителю и знаменателю вместе.
4. Нули знаменателя всегда выколоты (даже для \(\geq,\leq\)).
Переход \(\dfrac{a(x)}{b(x)}>1\ \Rightarrow\ a(x)>b(x)\) — ошибка. Правильно: \(\dfrac{a(x)}{b(x)}-1>0\ \Rightarrow\ \dfrac{a(x)-b(x)}{b(x)}>0\).

Разобранный пример

Пример
Решите неравенство \(\dfrac{x-1}{x+2}\geq 0\).
Показать решение

Нуль числителя \(x=1\) (входит — нестрогое); нуль знаменателя \(x=-2\) (всегда выколот). Расставляем знаки дроби по пробным точкам:

\((-\infty;-2)\cup[1;+\infty)\)

Поэкспериментируйте: знаки дроби

Двигайте корень знаменателя и меняйте знак неравенства — следите, как перестраивается ответ и почему точка знаменателя всегда остаётся выколотой.

Проверь себя

Решите, затем сверьтесь.

Задача 1
\(\dfrac{x-3}{x+1}\leq 0\)
Показать ответ

Нуль числителя \(3\) (включаем), знаменателя \(-1\) (выкалываем). Дробь \(\leq0\) между ними.

\((-1;\ 3]\)
Задача 2
\(\dfrac{2x+1}{x-4}\geq 1\)
Показать ответ

Переносим единицу: \(\dfrac{2x+1}{x-4}-1\geq0\Rightarrow\dfrac{(2x+1)-(x-4)}{x-4}\geq0\Rightarrow\dfrac{x+5}{x-4}\geq0\). Нули \(-5\) (вкл.) и \(4\) (выкол.).

\((-\infty;-5]\cup(4;+\infty)\)
Задача 3
\(\dfrac{(x+1)(x-2)}{x-5}<0\)
Показать ответ

Все три нуля выколоты (строгое неравенство): \(-1,\ 2,\ 5\). Берём промежутки со знаком «\(-\)».

\((-\infty;-1)\cup(2;5)\)
Модуль 4 · модуль

Неравенства с модулем

Модуль — это расстояние до нуля. Поэтому даже «простейшее» неравенство с модулем разворачивается в систему или совокупность двух обычных неравенств. Достаточно запомнить две схемы — и геометрический смысл, который их объясняет.

Две базовые схемы

При \(b>0\)
\(|f(x)|< b\ \Leftrightarrow\ -b< f(x)< b\)  (система: «и то, и другое»)
\(|f(x)|>b\ \Leftrightarrow\ \big[\,f(x)>b\ \text{или}\ f(x)<-b\,\big]\)  (совокупность: «или»)

Удобная альтернатива при \(b\geq0\) — возведение в квадрат с формулой разности квадратов (знак не меняется):

\(|f|\vee b\ \Leftrightarrow\ (f-b)(f+b)\vee 0\)

А неравенство двух модулей всегда решается возведением в квадрат:

\(|f|\leq|g|\ \Leftrightarrow\ f^2\leq g^2\ \Leftrightarrow\ (f-g)(f+g)\leq0\)
Граничные случаи при \(b\leq0\): \(|f|< b\) (и \(\leq\) при \(b<0\)) решений не имеет; \(|f|>b\) при \(b<0\) верно всегда; \(|f|\leq0\Leftrightarrow f=0\).

Геометрия: где график выше порога

График \(y=|f(x)|\) лежит над прямой \(y=b\) ровно там, где \(|f(x)|>b\). На примере \(y=|x|\) и \(y=2\) хорошо видно, как получается совокупность \(x\leq-2\) или \(x\geq2\).

Разобранные примеры

Пример 1
Решите неравенство \(|3x+4|\geq 5\).
Показать решение

Схема «\(>\)» даёт совокупность \(3x+4\geq5\) или \(3x+4\leq-5\), то есть \(x\geq\tfrac13\) или \(x\leq-3\).

\((-\infty;-3]\cup\left[\tfrac13;+\infty\right)\)
Пример 2
Решите неравенство \(|x^2-9x+14|\leq 6\).
Показать решение

Схема «\(\leq\)»: система \(x^2-9x+14\leq6\) и \(x^2-9x+14\geq-6\), то есть \(x^2-9x+8\leq0\) и \(x^2-9x+20\geq0\).

Первое: корни \(1,8\) — отрезок \([1;8]\). Второе: корни \(4,5\) — \((-\infty;4]\cup[5;+\infty)\). Пересекаем.

\([1;4]\cup[5;8]\)

Проверь себя

Решите, затем сверьтесь.

Задача 1
\(|2x-1|<7\)
Показать ответ

\(-7<2x-1<7\Rightarrow-6<2x<8\Rightarrow-3< x<4\).

\((-3;\ 4)\)
Задача 2
\(|x-3|>|x+1|\)
Показать ответ

Возводим в квадрат: \((x-3)^2>(x+1)^2\Rightarrow(x-3)^2-(x+1)^2>0\Rightarrow(2x-2)(-4)>0\Rightarrow x-1<0\).

\((-\infty;\ 1)\)
Задача 3
\(|x^2-4|\geq 3\)
Показать ответ

Совокупность \(x^2-4\geq3\) или \(x^2-4\leq-3\): то есть \(x^2\geq7\) или \(x^2\leq1\).

\((-\infty;-\sqrt7\,]\cup[-1;1]\cup[\sqrt7;+\infty)\)
Модуль 5 · иррациональные

Иррациональные неравенства

Корень чётной степени неотрицателен и требует неотрицательного подкоренного выражения. Возводить в квадрат можно, только когда обе части одного знака. Отсюда — несколько «базовых схем», в которых уже учтены все случаи. Запоминать наизусть не обязательно: достаточно держать в голове логику со знаком правой части.

Базовые равносильности (корень чётной степени)

Корень меньше выражения
\(\sqrt{f}< g\ \Leftrightarrow\ \begin{cases}f\geq0\\ g>0\\ f< g^2\end{cases}\)
Корень больше выражения
\(\sqrt{f}>g\ \Leftrightarrow\ \left[\begin{array}{l}\begin{cases}g<0\\ f\geq0\end{cases}\\[6pt]\begin{cases}g\geq0\\ f>g^2\end{cases}\end{array}\right.\)
Корень против корня
\(\sqrt{f}<\sqrt{g}\ \Leftrightarrow\ \begin{cases}f\geq0\\ f< g\end{cases}\)  (условие \(g>0\) — следствие)
Логика проста: если правая часть отрицательна, неотрицательный корень либо заведомо больше её (тогда нужна только ОДЗ), либо заведомо не меньше — решений нет. Если правая часть неотрицательна, обе части одного знака и можно возводить в квадрат.

Геометрия: корень против прямой

Решая \(\sqrt{2x-1}< x-2\), сравниваем график корня и прямую. Неравенство выполняется там, где прямая идёт выше корня — и при этом сама положительна.

Поэкспериментируйте: корень и порог

Меняйте порог \(k\) и знак неравенства. Возведение в квадрат «работает» только когда обе части неотрицательны — посмотрите, как условие \(\sqrt{2x-1}\;\square\;k\) превращается в промежуток по \(x\).

Разобранный пример

Пример
Решите неравенство \(\sqrt{2x-1}< x-2\).
Показать решение

По схеме «корень меньше выражения»:

\(\begin{cases}2x-1\geq0\\ x-2>0\\ 2x-1<(x-2)^2\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}x\geq0{,}5\\ x>2\\ x^2-6x+5>0\end{cases}\)

Третье неравенство: корни \(1\) и \(5\), решение \((-\infty;1)\cup(5;+\infty)\). С учётом \(x>2\) остаётся \(x>5\).

\((5;+\infty)\)

Проверь себя

Решите, затем сверьтесь.

Задача 1
\(\sqrt{x+3}<2\)
Показать ответ

Правая часть положительна: \(0\leq x+3<4\Rightarrow-3\leq x<1\).

\([-3;\ 1)\)
Задача 2
\(\sqrt{x-1}>3\)
Показать ответ

Правая часть положительна, возводим в квадрат: \(x-1>9\Rightarrow x>10\) (ОДЗ \(x\geq1\) выполнено).

\((10;+\infty)\)
Задача 3
\(\sqrt{x+5}>x-1\)
Показать ответ

Случай 1: \(x-1<0\) и \(x+5\geq0\Rightarrow-5\leq x<1\). Случай 2: \(x-1\geq0\) и \(x+5>(x-1)^2\Rightarrow x\geq1\) и \(x^2-3x-4<0\Rightarrow1\leq x<4\). Объединяем.

\([-5;\ 4)\)
Модуль 6 · тригонометрические

Тригонометрические неравенства

Синус — это ордината точки на единичной окружности, косинус — её абсцисса. Поэтому решать \(\sin x\vee a\) и \(\cos x\vee a\) удобнее всего на окружности: отмечаем дугу, концам которой соответствуют углы, и записываем ответ с периодом. Ниже — живая окружность, на которой это видно.

Тренажёр: дуга решения на окружности

Выберите функцию и знак, двигайте порог \(a\) — заштрихованная дуга и ответ обновляются. Обратите внимание на стрелку направления: угол растёт против часовой стрелки.

Готовые формулы решений (при \(|a|<1\))

НеравенствоМножество решений, \(n\in\mathbb{Z}\)
\(\sin x\geq a\)\([\arcsin a+2\pi n;\ \pi-\arcsin a+2\pi n]\)
\(\sin x\leq a\)\([-\pi-\arcsin a+2\pi n;\ \arcsin a+2\pi n]\)
\(\cos x\geq a\)\([-\arccos a+2\pi n;\ \arccos a+2\pi n]\)
\(\cos x\leq a\)\([\arccos a+2\pi n;\ 2\pi-\arccos a+2\pi n]\)
\(\operatorname{tg} x\leq a\)\(\left(-\tfrac{\pi}{2}+\pi n;\ \operatorname{arctg} a+\pi n\right]\)
\(\operatorname{tg} x\geq a\)\(\left[\operatorname{arctg} a+\pi n;\ \tfrac{\pi}{2}+\pi n\right)\)
\(\operatorname{ctg} x\geq a\)\((\pi n;\ \operatorname{arcctg} a+\pi n]\)
\(\operatorname{ctg} x\leq a\)\([\operatorname{arcctg} a+\pi n;\ \pi+\pi n)\)
Период синуса и косинуса — \(2\pi\), тангенса и котангенса — \(\pi\). Для строгих неравенств концы дуг выкалываются.
Граничные случаи: если \(a>1\), то \(\sin x\leq a\) и \(\cos x\leq a\) верны всегда, а \(\geq a\) — решений нет (при \(a<-1\) — наоборот). При \(a=\pm1\) неравенство со знаком равенства часто сводится к уравнению.

Разобранный пример

Пример
Решите неравенство \(\sin x\leq -\dfrac{\sqrt3}{2}\).
Показать решение

На окружности отмечаем точки с ординатой \(\leq-\tfrac{\sqrt3}{2}\) — это нижняя дуга. Считая левый её конец углом \(-\tfrac{2\pi}{3}\), получаем правый конец \(-\tfrac{\pi}{3}\).

\(\left[-\tfrac{2\pi}{3}+2\pi n;\ -\tfrac{\pi}{3}+2\pi n\right],\ n\in\mathbb{Z}\)

Проверь себя

Решите, затем сверьтесь.

Задача 1
\(\cos x\geq\dfrac12\)
Показать ответ

\(\arccos\tfrac12=\tfrac{\pi}{3}\), решение симметрично относительно нуля.

\(\left[-\tfrac{\pi}{3}+2\pi n;\ \tfrac{\pi}{3}+2\pi n\right],\ n\in\mathbb{Z}\)
Задача 2
\(\sin x>\dfrac{\sqrt2}{2}\)
Показать ответ

\(\arcsin\tfrac{\sqrt2}{2}=\tfrac{\pi}{4}\), верхняя дуга, концы выколоты.

\(\left(\tfrac{\pi}{4}+2\pi n;\ \tfrac{3\pi}{4}+2\pi n\right),\ n\in\mathbb{Z}\)
Задача 3
\(\operatorname{tg} x\leq\sqrt3\)
Показать ответ

\(\operatorname{arctg}\sqrt3=\tfrac{\pi}{3}\). Учитываем разрыв в \(\tfrac{\pi}{2}\): на каждом периоде интервал от \(-\tfrac{\pi}{2}\) до \(\tfrac{\pi}{3}\).

\(\left(-\tfrac{\pi}{2}+\pi n;\ \tfrac{\pi}{3}+\pi n\right],\ n\in\mathbb{Z}\)
Модуль 7 · показательные

Показательные неравенства

Показательная функция \(y=a^x\) монотонна, поэтому неравенство между степенями с одинаковым основанием равносильно неравенству между показателями. Весь вопрос — сохраняется знак или меняется. Это решает основание.

Главное правило

Переход от степеней к показателям
Если \(a>1\):  \(a^{f}\vee a^{g}\ \Leftrightarrow\ f\vee g\)  — знак сохраняется.
Если \(0< a<1\):  \(a^{f}\vee a^{g}\ \Leftrightarrow\ f\,\overline{\vee}\,g\)  — знак меняется на противоположный.

Алгоритм: привести обе части к одному основанию, затем «снять» основание, не забыв про правило знака. ОДЗ у показательной функции нет — она определена при всех \(x\).

Быстрый пример: \(2^{x^2+2x}\leq 2^{-1}\). Основание \(2>1\), знак сохраняем: \(x^2+2x\leq-1\Rightarrow(x+1)^2\leq0\Rightarrow x=-1\).

Почему знак меняется: две кривые

При \(a>1\) график растёт: большему показателю отвечает большее значение. При \(0< a<1\) график убывает — порядок переворачивается. Сравните на одной картинке.

Разобранный пример

Пример
Решите неравенство \((0{,}2)^{\,x^2-5x} > 25^{\,x^2-3x+5}\).
Показать решение

Приведём к основанию \(5\): \(0{,}2=5^{-1}\), \(25=5^{2}\). Тогда

\(5^{-(x^2-5x)} > 5^{\,2(x^2-3x+5)}\).

Основание \(5>1\) — знак сохраняем: \(-(x^2-5x) > 2(x^2-3x+5)\), откуда \(-x^2+5x>2x^2-6x+10\), то есть \(3x^2-11x+10<0\).

Корни \(\tfrac53\) и \(2\); неравенство «между корнями».

\(\left(\tfrac53;\ 2\right)\)

Проверь себя

Решите, затем сверьтесь.

Задача 1
\(3^{x}>9\)
Показать ответ

\(3^x>3^2\), основание \(>1\): \(x>2\).

\((2;+\infty)\)
Задача 2
\(\left(\tfrac12\right)^{x}\geq 8\)
Показать ответ

\(\left(\tfrac12\right)^x\geq\left(\tfrac12\right)^{-3}\), основание \(<1\) — знак меняем: \(x\leq-3\).

\((-\infty;-3]\)
Задача 3
\(2^{\,x^2-3x}<16\)
Показать ответ

\(2^{x^2-3x}<2^4\): \(x^2-3x<4\Rightarrow x^2-3x-4<0\Rightarrow(x-4)(x+1)<0\).

\((-1;\ 4)\)
Модуль 8 · логарифмические

Логарифмические неравенства

Логарифм — функция, обратная показательной: те же правила знака, но добавляется ОДЗ (под логарифмом — строго положительное выражение). «Снятие» логарифма называют потенцированием.

Базовые переходы

Если \(a>1\) (знак сохраняется)
\(\log_a f\geq b\ \Leftrightarrow\ f\geq a^{b}\)
\(\log_a f\leq b\ \Leftrightarrow\ \begin{cases}f\leq a^{b}\\ f>0\end{cases}\)
\(\log_a f\leq \log_a g\ \Leftrightarrow\ \begin{cases}f\leq g\\ f>0\end{cases}\)
Если \(0< a<1\) (знак меняется)
\(\log_a f\geq b\ \Leftrightarrow\ \begin{cases}f\leq a^{b}\\ f>0\end{cases}\)
\(\log_a f\leq b\ \Leftrightarrow\ f\geq a^{b}\)
\(\log_a f\leq \log_a g\ \Leftrightarrow\ \begin{cases}f\geq g\\ g>0\end{cases}\)
ОДЗ можно не выписывать целиком: достаточно потребовать положительности меньшего из выражений под логарифмами — большее тогда положительно автоматически.

Две кривые логарифма

При \(a>1\) логарифм возрастает, при \(0< a<1\) — убывает. Та же причина смены знака, что и у показательной функции.

Поэкспериментируйте: основание логарифма

Двигайте основание \(a\). Пунктиром показаны опорные \(\log_2 x\) и \(\log_{1/2} x\), а сплошная кривая перестраивается — видно, когда логарифм возрастает, а когда убывает.

Разобранный пример

Пример
Решите неравенство \(\log_{0{,}5}(4x^2+8x-3)\leq -1\).
Показать решение

Основание \(0{,}5<1\), для «\(\leq b\)» знак меняется: \(4x^2+8x-3\geq(0{,}5)^{-1}=2\), откуда \(4x^2+8x-5\geq0\).

Корни \(-2{,}5\) и \(0{,}5\). Заметим: раз \(4x^2+8x-3\geq2>0\), ОДЗ выполнено само собой — выписывать его не нужно.

\((-\infty;-2{,}5\,]\cup[\,0{,}5;+\infty)\)
Если основание переменное (например, \(\log_{6-x}\dots\)), рассматривают два случая — \(a>1\) и \(0< a<1\) — либо применяют метод знакотождественных множителей: \(\log_{c}u-\log_c v\sim u-v\) при \(c>1\) и \(\log_{c}u\sim\dfrac{u-1}{c-1}\).

Проверь себя

Решите, затем сверьтесь.

Задача 1
\(\log_2(x-1)<3\)
Показать ответ

Основание \(>1\): \(\{x-1<2^3,\ x-1>0\}\Rightarrow1< x<9\).

\((1;\ 9)\)
Задача 2
\(\log_{1/3}(x+2)\geq -1\)
Показать ответ

Основание \(<1\), «\(\geq b\)» меняет знак: \(\{x+2\leq(1/3)^{-1}=3,\ x+2>0\}\Rightarrow-2< x\leq1\).

\((-2;\ 1]\)
Задача 3
\(\log_3(x^2-4)\leq\log_3(3x)\)
Показать ответ

Основание \(>1\): \(\{x^2-4\leq3x,\ x^2-4>0,\ 3x>0\}\). Из \(x^2-3x-4\leq0\) получаем \(-1\leq x\leq4\); из \(x^2-4>0\) — \(x<-2\) или \(x>2\); условие \(3x>0\) даёт \(x>0\). Пересечение всех условий.

\((2;\ 4]\)

Восемь типов пройдено 💪

Вы освоили все восемь типов неравенств — от метода интервалов до логарифмов. Любая стандартная «Задача 15» теперь сводится к знакомой схеме: привести к виду \(f(x)\vee 0\), учесть ОДЗ и знак, выйти на метод интервалов.

Остался один по-настоящему сильный приём, который ускоряет самые трудные задачи с переменным основанием, — метод рационализации.

Модуль 9 · продвинутый приём

Метод рационализации
(знакотождественные множители)

Самый сильный приём для трудных задач — особенно с переменным основанием логарифма или степени. Идея простая: если слева стоит произведение или дробь, а справа ноль, то любой множитель можно заменить знакотождественным — более простым выражением с теми же знаками и нулями. Громоздкое неравенство превращается в рациональное и решается методом интервалов.

Главная идея

Когда применим метод
1. Неравенство имеет вид \(a_1(x)\cdot a_2(x)\cdots a_n(x)\vee 0\) или \(\dfrac{a_1(x)\cdots a_n(x)}{b_1(x)\cdots b_m(x)}\vee 0\) — слева произведение или дробь, справа строго ноль.
2. Любой множитель \(a(x)\) заменяем знакотождественным \(b(x)\): у них одни и те же промежутки знака «\(+\)», «\(-\)» и одни и те же нули. Пишут \(\operatorname{sign} a(x)=\operatorname{sign} b(x)\).
3. После замены получается рациональное неравенство — решаем методом интервалов, не забывая ОДЗ исходного.
Замена возможна только когда справа ноль. Если справа не ноль — сначала перенесите всё в одну часть. Менять множители в выражении вида \(\frac{a}{b}>1\) напрямую нельзя!
Почему это работает: если функция \(y=a(t)\) возрастает, то \(\operatorname{sign}\bigl(a(t_1)-a(t_2)\bigr)=\operatorname{sign}(t_1-t_2)\). Возрастают \(t^{2n+1}\), \(\sqrt[n]{t}\), \(a^{t}\) и \(\log_a t\) при \(a>1\) — отсюда и берутся все пары ниже.

Четыре пары, которые надо помнить

1. Модули. Разность модулей (и вообще разность неотрицательных выражений) \(\sim\) разность квадратов: \(\;|u|-|v|\ \sim\ u^2-v^2\).
2. Корни. Разность корней одной степени \(\sim\) разность подкоренных: \(\;\sqrt[n]{u}-\sqrt[n]{v}\ \sim\ u-v\) (для чётной степени при \(u\geq 0,\ v\geq 0\)).
3. Степени. Разность показательных с основанием \(>1\) \(\sim\) разность показателей: \(\;a^{u}-a^{v}\ \sim\ u-v\) при \(a>1\).
4. Логарифмы. Разность логарифмов с основанием \(>1\) \(\sim\) разность аргументов: \(\;\log_a u-\log_a v\ \sim\ u-v\) при \(a>1,\ u,v>0\); и \(\log_a u\sim u-1\).
Если основание меньше 1, перейдите к основанию, большему 1 (тогда знак неравенства развернётся), либо запомните перевёрнутый вариант: \(b(x)=v-u\) вместо \(u-v\).

Полная таблица знакотождественных пар

Здесь \(n\in\mathbb{N}\); \(a,c\) — числа; \(u,v,c(x)\) — любые алгебраические выражения.

Выражение \(a(x)\) Замена \(b(x)\) (того же знака)
\((u)^{2n+1}\pm(v)^{2n+1}\)\(u\pm v\)
\((u)^{2n}-(v)^{2n}\)\(u^2-v^2\)
\(|u|-|v|\)\(u^2-v^2\)
\(\sqrt[2n+1]{u}\pm\sqrt[2n+1]{v}\)\(u\pm v\)
\(\sqrt[2n]{u}-\sqrt[2n]{v}\)\(u-v\) (\(u,v\geq 0\))
\(a^{u}-a^{v}\), \(a>1\)\(u-v\)
\(a^{u}-a^{v}\), \(0< a<1\)\(v-u\)
\(\log_a u-\log_a v\), \(a>1\)\(u-v\) (\(u,v>0\))
\(\log_a u-\log_a v\), \(0< a<1\)\(v-u\) (\(u,v>0\))
\(\log_a u\), \(a>1\)\(u-1\) (\(u>0\))
\(\log_a u\), \(0< a<1\)\(1-u\) (\(u>0\))
\(\log_{c(x)} u\) (перем. основание)\(\dfrac{u-1}{c-1}\) (\(u>0,\ c>0\))
Множитель \(\dfrac{u-1}{c-1}\) автоматически «выкалывает» точку \(c=1\): там основание недопустимо. Это удобнее классического разбора двух случаев — и спасает от потери решений.

Увидеть знакотождественность глазами

Два совершенно разных графика могут иметь одинаковые знаки на всей области. Переключайте пары и сравните цветную полосу знаков — она одна и та же у \(a(x)\) и у \(b(x)\).

Разбор примера 1 — логарифм с переменным основанием

Классическая «Задача 15». Нажимайте «Следующий шаг» и старайтесь предугадать каждый ход.

Разбор примера 2 — показательное с заменой переменной

Здесь рационализация работает в связке с заменой \(t=a^{f(x)}\) — частый сюжет на экзамене.

Синтез: главный навык — узнать метод

На экзамене половина успеха — за пару секунд понять, к какому типу относится неравенство и какой приём базовый. Этот тренажёр перемешивает все типы из курса.

Памятка: равносильные переходы и ОДЗ

Шпаргалка по всем типам
Дробь. \(\dfrac{P}{Q}\vee 0\) — метод интервалов; нули \(Q\) всегда выколоты.
Модуль. \(|f|< b\Leftrightarrow -b< f< b\); \(\ |f|>b\Leftrightarrow f<-b\) или \(f>b\).
Корень (чётный). \(\sqrt{f}< g\Leftrightarrow\{f\geq 0,\ g>0,\ f< g^2\}\); \(\ \sqrt{f}>g\Leftrightarrow\{g<0,\ f\geq 0\}\) или \(\{g\geq 0,\ f>g^2\}\). Нечётный корень — возводим в куб без ОДЗ.
Показательное. При \(a>1\) знак сохраняется, при \(0< a<1\) меняется; типичная замена \(t=a^{f}>0\).
Логарифмическое. ОДЗ \(f>0\); при \(a>1\) знак сохраняется, при \(0< a<1\) меняется; «\(\log_a f\leq b\)» добавляет \(f>0\).
Тригонометрическое. Единичная окружность + период; например \(\sin x\geq a\Rightarrow[\arcsin a+2\pi n;\ \pi-\arcsin a+2\pi n]\).
Рационализация. Только при сравнении с нулём; меняем сложный множитель на знакотождественный из таблицы выше.

Курс пройден 🎉

Теперь у вас есть полный набор: общие методы, восемь типов неравенств и метод рационализации для самых трудных задач. Любая «Задача 15» сводится к схеме «привести к \(f(x)\vee 0\) → учесть ОДЗ → метод интервалов».

Лучший способ закрепить — возвращаться к тренажёрам и прорешивать новые варианты, пока выбор метода не станет мгновенным.

Уровень экзамена · Задача 15

Сложные задачи: разбор по шагам

Разборы того уровня, что в самых трудных параграфах пособия С. А. Шестакова. Здесь приёмы курса работают вместе: замена переменной, переменное основание логарифма и метод знакотождественных множителей в полную силу. Открывайте по одному шагу — удобно проходить с учеником.

Как пользоваться

Сначала попробуйте решить сами (рядом удобно держать свою доску — например, Zoom), затем сверяйтесь по шагам. Каждый разбор показывает не только ответ, но и ключевой переход — то место, где обычно теряются баллы: ОДЗ, направление знака, выколотая точка.

← Курс