Числовая ось, нули на ней и знаки между ними — вот и весь метод. Здесь мы разберём его по шагам на подробных примерах, а потом ты отработаешь каждый навык на интерактивных тренажёрах со случайными заданиями.
Начнём с самого простого — с линейной функции. Именно на её поведении держится весь метод интервалов.
Где функция \(f(x)=x-5\) положительна, а где отрицательна?
Значения \(x-5\) положительны при \(x \gt 5\) и отрицательны при \(x \lt 5\). В точке \(x=5\) функция обращается в нуль: \(f(5)=0\). Такую точку называют нулём функции.
А что с функцией \(f(x)=2x+6\)?
Решаем \(2x+6=0\) и находим нуль функции: \(x=-3\). Коэффициент при \(x\) положителен, поэтому картина та же: слева от нуля — минус, справа — плюс.
Перетаскивай ползунок — точка \(a\) будет ездить по оси, а картина знаков выражения \(x-a\) всегда одна и та же: минус слева, плюс справа.
Выражение \(x-a\) меняет знак с минуса на плюс при переходе через точку \(a\). На этом факте держится весь метод интервалов — мы будем пользоваться им постоянно.
Теперь возьмём квадратный трёхчлен \(f(x)=ax^{2}+bx+c\), где \(a\neq 0\). Его нули — это корни уравнения \(ax^{2}+bx+c=0\). Если корни \(x_1\) и \(x_2\) существуют, трёхчлен раскладывается на линейные множители:
\[ ax^{2}+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2). \]Определим знаки функции \(f(x)=x^{2}-x-6\).
Решаем уравнение \(x^{2}-x-6=0\): корни \(x_1=-2\) и \(x_2=3\). Значит,
\[ f(x)=(x+2)(x-3). \]Точки \(-2\) и \(3\) разбивают ось на три промежутка. Пройдём по ним справа налево:
То же самое видно на графике: парабола \(y=x^{2}-x-6\) с ветвями вверх пересекает ось в точках \(-2\) и \(3\). Между корнями она идёт ниже оси (там минус), вне корней — выше (там плюс).
Мы только что применили метод интервалов: определили знак произведения по знакам сомножителей на каждом промежутке. Заодно у нас есть и второй способ — графический, по эскизу параболы. Дальше — неравенства.
Решить неравенство: \(3x^{2}-7x+2 \gt 0\).
Находим корни трёхчлена: \(3x^{2}-7x+2=0\), откуда \(x_1=\dfrac{1}{3}\) и \(x_2=2\). Дальше — кому какой способ нравится.
Способ 1: метод интервалов. Раскладываем левую часть на множители: \((3x-1)(x-2) \gt 0\). Отмечаем точки \(\dfrac{1}{3}\) и \(2\) — обе выколоты, потому что неравенство строгое. Расставляем знаки:
Способ 2: графический. Ветви параболы \(y=3x^{2}-7x+2\) направлены вверх; нас интересуют участки, где она идёт выше оси, — то есть вне корней.
Решить неравенство: \(10+3x-x^{2} \ge 0\).
Перед \(x^{2}\) стоит минус — сразу умножаем обе части на \(-1\), не забывая перевернуть знак неравенства:
\[ x^{2}-3x-10 \le 0. \]Корни: \(x^{2}-3x-10=0\), откуда \(x_1=-2\), \(x_2=5\), то есть \((x+2)(x-5)\le 0\). Неравенство нестрогое — точки закрашены. Между корнями произведение отрицательно, это нам и нужно:
Если перед старшей степенью \(x\) стоит минус — немедленно умножай неравенство на \(-1\) и меняй знак неравенства на противоположный. Так все дальнейшие множители будут вида \(x-a\), и знаки расставятся без сюрпризов.
Решить неравенство: \(x^{2}-6x+9 \gt 0\).
Слева — полный квадрат: \(x^{2}-6x+9=(x-3)^{2}\). Квадрат числа положителен всегда, когда само число не равно нулю. Значит, подходят все \(x\), кроме \(3\):
Выражение \((x-a)^{2}\) — и вообще любой множитель в чётной степени — не меняет знак при переходе через точку \(a\). Запомни это место: в § 5 оно станет источником «флажков».
Решить неравенство: \(x^{2}+4x+5 \gt 0\).
Дискриминант отрицателен: \(D=16-20=-4\), корней нет. Как решать? Выделим полный квадрат:
\[ x^{2}+4x+5=(x^{2}+4x+4)+1=(x+2)^{2}+1. \]Квадрат неотрицателен, да ещё плюс единица — сумма всегда положительна. Неравенство выполнено при любых \(x\).
Квадратный трёхчлен \(ax^{2}+bx+c\), у которого \(a \gt 0\) и дискриминант отрицателен, принимает только положительные значения. Такой множитель можно смело «вычёркивать» из неравенства — он на знак не влияет.
С квадратными неравенствами справлялась и парабола. А вот дроби и длинные произведения — территория, где метод интервалов работает лучше всего.
Решить неравенство: \(\dfrac{x+2}{x-4} \le 0\).
Числитель обращается в нуль в точке \(x=-2\), знаменатель — в точке \(x=4\). Эти точки разбивают ось на три промежутка. Но сначала — самое важное про сами точки:
Теперь идём по оси справа налево. При \(x \gt 4\) оба выражения положительны — плюс. На \((-2;\,4)\) знаменатель стал отрицательным — минус. При \(x \lt -2\) отрицательны оба — снова плюс. Знак неравенства «меньше или равно», выбираем минус:
Нули знаменателя выколоты всегда — независимо от знака неравенства. Нули числителя выколоты в строгих неравенствах \((\lt,\ \gt)\) и закрашены в нестрогих \((\le,\ \ge)\).
Решить неравенство: \((x+6)(x-1)(x-3) \gt 0\).
Отмечаем нули всех трёх множителей: \(-6\), \(1\) и \(3\). Все точки выколоты (неравенство строгое). При переходе через каждую точку ровно один линейный множитель меняет знак — поэтому знаки просто чередуются. Ставим плюс на самом правом промежутке и дальше меняем:
Решить неравенство: \(\dfrac{x^{2}-x-2}{8+2x-x^{2}} \ge 0\).
В знаменателе минус перед \(x^{2}\) — по нашему правилу умножаем неравенство на \(-1\) (знак неравенства переворачивается):
\[ \frac{x^{2}-x-2}{x^{2}-2x-8} \le 0. \]Раскладываем на множители числитель (корни уравнения \(x^{2}-x-2=0\) — это \(-1\) и \(2\)) и знаменатель (корни уравнения \(x^{2}-2x-8=0\) — это \(-2\) и \(4\)):
\[ \frac{(x+1)(x-2)}{(x+2)(x-4)} \le 0. \]Отмечаем точки: \(-1\) и \(2\) — нули числителя, закрашены; \(-2\) и \(4\) — нули знаменателя, выколоты. Все множители линейные, знаки чередуются:
Чередование знаков — приятная, но не гарантированная вещь. Как только какой-то множитель встал в чётную степень, чередование ломается. Здесь появляются главные ловушки метода — и наш фирменный приём против них.
Решить неравенство: \(\dfrac{x-2}{(x-5)^{2}} \le 0\).
При переходе через точку \(2\) — обычная смена знака. А вот через точку \(5\) знак не меняется: выражение \((x-5)^{2}\) неотрицательно всегда. Точка \(5\) выколота (нуль знаменателя), точка \(2\) закрашена:
Решить неравенство: \((x-2)(x-5)^{2} \le 0\).
Как будто то же самое — только \((x-5)^{2}\) переехал из знаменателя в числитель. Картина знаков не изменилась, но точка \(5\) теперь закрашена! Проверим: подставим \(x=5\) в исходное неравенство — получим верное \(0 \le 0\). Значит, \(x=5\) — решение, хотя вокруг него оба промежутка «плюсовые» и в ответ не входят.
Чтобы не потерять такую точку, ставим над ней флажок — метку «не забудь включить меня в ответ»:
Если множитель \(x-a\) стоит в нечётной степени — при переходе через точку \(a\) знак меняется.
Если в чётной степени — знак не меняется. Над каждой закрашенной точкой без смены знака сразу ставь флажок ⚑: она обязана попасть в ответ.
Решить неравенство: \(\dfrac{x^{3}-6x^{2}+9x}{x^{2}-25} \ge 0\).
Преобразуем левую часть. В числителе выносим \(x\) и сворачиваем полный квадрат, знаменатель — разность квадратов:
\[ \frac{x(x-3)^{2}}{(x+5)(x-5)} \ge 0. \]Точки: \(0\) и \(3\) — нули числителя, закрашены; \(-5\) и \(5\) — нули знаменателя, выколоты. При \(x \gt 5\) все множители положительны — плюс. Идём влево: через \(5\) и \(0\) знак меняется (нечётные степени), через \(3\) — нет (квадрат!). Над точкой \(3\) — флажок:
Выбираем «плюсовые» участки и закрашенные точки. Флажок в точке \(3\) стоит посреди «минусовой» зоны — он даёт изолированную точку-решение.
Решить неравенство: \(\dfrac{(x+1)^{2}(x-2)^{3}(x-6)^{4}}{(x-1)(x-4)^{5}(x-7)^{6}} \ge 0\).
Пугаться нечего: работает всё то же правило степеней. Точки \(-1\), \(2\), \(6\) — нули числителя (закрашены), точки \(1\), \(4\), \(7\) — нули знаменателя (выколоты). Пусть сначала \(x \gt 7\): все множители положительны, знак «плюс». Идём влево:
Над закрашенными точками без смены знака — флажки: это \(-1\) и \(6\).
Флажок в точке \(6\) оказался внутри зелёного промежутка — он «поглощается» ответом. Флажок в точке \(-1\) стоит среди минусов — это изолированная точка-решение.
До сих пор справа стоял нуль. Если там что-то другое — переносим всё влево и приводим к общему знаменателю. Два запрета по дороге:
Нельзя умножать неравенство на знаменатель, если его знак неизвестен: при умножении на отрицательное число знак неравенства переворачивается, а мы не знаем, отрицателен ли он.
Нельзя «перемножать крест-накрест» две дроби, как пропорцию, — по той же причине.
Решить неравенство: \(\dfrac{x}{x-3} \lt 4\).
Переносим \(4\) влево и приводим к общему знаменателю:
\[ \frac{x}{x-3}-4 \lt 0, \qquad \frac{x-4(x-3)}{x-3} \lt 0, \qquad \frac{12-3x}{x-3} \lt 0. \]В числителе минус перед \(x\) — выносим \(-3\) и переворачиваем знак неравенства:
\[ \frac{x-4}{x-3} \gt 0. \]Обе точки выколоты (строгое неравенство и нуль знаменателя), знаки чередуются:
Решить неравенство: \(\dfrac{5}{x+2} \ge \dfrac{2}{x-1}\).
Никаких «перевернём дроби» и «умножим крест-накрест»! Собираем всё слева:
\[ \frac{5}{x+2}-\frac{2}{x-1} \ge 0, \qquad \frac{5(x-1)-2(x+2)}{(x+2)(x-1)} \ge 0, \qquad \frac{3(x-3)}{(x+2)(x-1)} \ge 0. \]Положительный множитель \(3\) на знак не влияет — отбрасываем. Точка \(3\) закрашена, точки \(-2\) и \(1\) выколоты, знаки чередуются:
Сначала — один пример, разобранный по шагам алгоритма. Потом три тренажёра: каждый отрабатывает свой навык и генерирует новые задания бесконечно. Проверка мгновенная.
Кликай по кружкам «?» над промежутками: один клик — плюс, второй — минус. Расставь знак выражения на каждом промежутке и нажми «Проверить».
Перед тобой неравенство и его точки. Кликай по каждой точке: закрашенная ⬤ — точка входит в ответ, выколотая ◯ — не входит. Помни про знак неравенства и про знаменатель!
Собери ответ прямо на оси: серые штрихи — нули числителя и знаменателя. Клик по промежутку включает его в ответ (зелёная заливка), клик по точке — включает точку (зелёная метка). Когда соберёшь всё множество решений — жми «Проверить».
Реши на бумаге, потом открой решение: там разложение на множители, готовая ось со знаками и ответ. Звёздочки — сложность группы.
«Умножим на \(x-3\) и уберём дробь» — а если \(x-3\) отрицателен, знак неравенства перевернулся, и решение неверно.
Лечение: переносим всё влево, приводим к общему знаменателю (§ 6).
Неравенство нестрогое — и рука сама закрашивает все точки подряд, включая нули знаменателя.
Лечение: нуль знаменателя выколот всегда — на нуль не делят.
«Плюс, минус, плюс, минус…» — а в выражении был множитель \((x-a)^{2}\), и чередование сломалось.
Лечение: у каждой точки проверяй чётность степени (§ 5).
Закрашенная точка без смены знака не попала в ответ — минус целый балл на экзамене.
Лечение: ставь флажок ⚑ сразу, как только увидел «закрашена + знак не сменился».
В \(\dfrac{(x-5)(x+5)}{x-5}\) сократили \(x-5\) — и забыли, что при \(x=5\) исходная дробь не определена.
Лечение: сокращать можно, но точку \(x=5\) всё равно выколоть (задача № 14).
Справа нуль → множители → точки (знаменатель выколот!) → знак справа → влево по чётности → флажки → ответ.