задание 19 · развёрнутый ответ · 4 балла
Самая «нешкольная» задача варианта: здесь не подставляют в формулу, а ищут инвариант, строят пример и доказывают оценку. Три пункта — три разных жанра работы, и каждый оценивается отдельно.
В критериях перечислены четыре результата: ответ в а), ответ в б), оценка в в), пример в в). Четыре результата — 4 балла, три — 3, два — 2, один — 1. Поэтому даже «не решил» почти всегда стоит 1–2 балла, если написать то, что видно сразу.
На доске числа от 1 до 7. Выберите любые два — они заменятся модулем своей разности. Так до последнего числа. Следите за нижней строкой: сумма скачет, а вот её чётность…
Почему так: |a − b| и a + b всегда одной чётности, поэтому каждый ход меняет сумму на чётное число. Чётность суммы — инвариант, и именно он отвечает на вопрос «а может ли получиться…».
Развернуть и проговорить своими словами. Почти любая задача 19 собирается из двух-трёх таких кирпичей.
Спросите: что не меняется при разрешённой операции? Сумма, её чётность, остаток при делении на 3, количество нечётных чисел, произведение знаков. Если у начальной и требуемой конфигурации инварианты разные — ответ «нет», и это готовое доказательство.
Число и сумма его цифр дают одинаковый остаток при делении на 9: N ≡ S(N) (mod 9). Отсюда: разность N − S(N) всегда делится на 9; число делится на 9 тогда и только тогда, когда делится его сумма цифр; при перестановке цифр остаток по модулю 9 не меняется.
В пункте в) нужны обе половины. Оценка: цепочка неравенств, доказывающая «больше нельзя». Пример: конкретный набор, на котором достигается. Ответ без примера — недоказанный ответ, пример без оценки — недоказанная максимальность.
k различных натуральных чисел в сумме дают не меньше 1 + 2 + … + k = k(k + 1)/2. Главное неравенство всех задач про наборы: оно ограничивает и количество чисел, и величину наибольшего из них.
Посмотрите на наибольшее число набора. Группа, в которую оно попало, имеет сумму не меньше него; набор, в котором оно лежит, не короче его самого. Крайний элемент почти всегда даёт оценку в пункте в).
a + b и a − b всегда одной чётности. Отсюда: a² − b² = (a − b)(a + b) либо нечётно, либо делится на 4; сумма двух чисел чётна ровно тогда, когда они одной чётности.
Сумма k подряд идущих натуральных чисел, начиная с a, равна ka + k(k − 1)/2. Удвоив: 2N = k(2a + k − 1), причём множители k и 2a + k − 1 разной чётности. Отсюда сразу видно, какие k возможны.
Сначала сужаем диапазон неравенством (обычно до десятка вариантов), потом честно перебираем оставшееся. Перебор без оценки — не решение; оценка без перебора — не доведённое решение.
Шесть типов реакций, из которых собираются пункты а) и б). Считать нужно в уме или на полях — большие числа здесь не встречаются.
Серия верных подряд: 0
Все шесть типов вперемешку, без разбора по ходу. Зачёт сдан от 7 верных. Результат виден на главной странице курса.