задание 18 · глава 3 · дробно-рациональные уравнения

Дробно-рациональные уравнения

Дробь равна нулю, когда числитель — ноль, а знаменатель — нет. Вся глава про второе условие: выколотые точки съедают кандидатов в корни, и именно на этом строятся задачи с параметром.

Дробь равна нулю — двойное условие

Кандидаты. Нули числителя — только кандидаты в корни, а не корни. Их ещё надо довести до финиша.

Выколотые точки. Нули знаменателя запрещены. Кандидат, попавший в выколотую точку, погибает — вычеркни его.

Счёт корней. Корни = выжившие кандидаты. Считая «сколько корней», проверь ещё и совпадения кандидатов между собой: x = a и x = −a при a = 0 — это один корень, не два.

Главная ошибка главы — сократить дробь на (x − a) и забыть, что условие x ≠ a никуда не делось. Сокращать можно, но запрет остаётся в задаче.

Неравенства с дробью

Умножать неравенство на знаменатель нельзя — его знак зависит от x. Дробные неравенства решаются методом интервалов: нули числителя — обычные точки, нули знаменателя — всегда выколотые. Этому посвящён отдельный тренажёр курса — «Метод интервалов».

Мостик к графике: дробно-линейная функция

Любая дробь (ax + b)/(cx + d) выделением целой части превращается в k/(x − h) + v — гиперболу со смещённым центром (h; v). Асимптоты x = h и y = v — это скелет графика: научись читать по ним коэффициенты в «Живых моделях».

Живая дробь: кандидаты против выколотых точек

Уравнение (x² − a²) / ((x − 3)(x − 2)) = 0. Числитель даёт кандидатов x = ±a, знаменатель выкалывает точки 2 и 3. Двигай a и смотри, кто выживает.

a =

Перечисли все значения a, при которых корней меньше двух (через точку с запятой):

Загадочная гипербола

Перед тобой график y = k/(x − h) + v. Пунктиром показаны асимптоты, точками — два узла. Восстанови коэффициенты.

k = h = v =

разгадано подряд: 0 · рекорд серии: 0

Подсказка: центр гиперболы — пересечение асимптот, это (h; v). Дальше k = (y − v)·(x − h) по любой отмеченной точке.

Когда дробь вырождается

Семейство y = (a·x + 1)/(x − 1). Выделим целую часть: y = a + (a + 1)/(x − 1). Двигай a и поймай значение, при котором гипербола перестаёт быть гиперболой.

a =

Такое вырождение — любимый крайний случай составителей: числитель стал кратен знаменателю, и от «дроби» осталась прямая с выколотой точкой.

Перевёртыши: найди ошибку

На доске — решения дробных задач с параметром. Не в каждом есть ошибка — реши сам и вынеси вердикт.

верных вердиктов: 0 из 0

Квиз: выколотые точки

Четыре вопроса. Если значений несколько — перечисли через точку с запятой (например: -4; 0; 4).

Домашнее задание

Реши на бумаге, затем открой разбор и сверься.