задание 18 · урок 0 · введение

Что такое параметр

В уравнении a·x = 5 две буквы, но роли у них разные: x мы ищем, а a кто-то уже выбрал — просто не сказал нам, что именно. Этот урок — про то, как думать о такой букве и что на самом деле означает «решить задачу с параметром».

Две роли буквы

Неизвестная — то, что мы ищем; обычно её обозначают x, y, z или t. Параметр — заранее выбранное, но неизвестное нам число; обычно a, b, c, k, m или p. Одна задача с параметром — это на самом деле бесконечная пачка задач, по одной на каждое значение параметра:

a = 2: уравнение 2x = 5 — корень x = 2,5.

a = −1: уравнение −x = 5 — корень x = −5.

a = 0: уравнение 0·x = 5 — корней нет.

Пачка почти однородная: миллионы значений a дают «обычную» задачу, и лишь отдельные — особую. Найти эти особые значения — половина решения.

Что значит «решить»

Решить задачу с параметром — дать ответ для каждого значения параметра. Поэтому ответ — не число, а словарь: «при таких a — то-то, при таких — сё-то». Для a·x = 5 полный ответ выглядит так:

при a = 0 корней нет; при a ≠ 0 единственный корень x = 5/a.

Главная ошибка новичка — написать x = 5/a и успокоиться. Деление на a законно только при a ≠ 0: одна строка ответа потеряна, и на экзамене это минус балл, а то и два.

Задание 18 на ЕГЭ и маршрут курса

Задача с параметром — задание 18 профильного ЕГЭ: развёрнутый ответ, до 4 баллов. Эксперт проверяет не только ответ, но и обоснованность: разобраны ли все случаи, не потеряны ли особые значения, законен ли каждый переход.

В курсе три инструмента, и мы освоим их по очереди:

Аналитический метод — честный разбор случаев формулами (главы 1–6);
Графический метод — семейство линий в плоскости XOY: двигаем параметр, считаем пересечения (практикум «Параметр на графике»);
Плоскость XOA — параметр становится второй координатой, и вся задача превращается в одну картинку.

Первый взгляд на графический метод — уже в этом уроке, на вкладке «Живые модели».

Безобидная буква и опасная буква

Один и тот же параметр a, два уравнения: x + a = 5 и a·x = 5. Двигай ползунок и смотри на корни. Сложение с параметром лишь сдвигает корень, а вот умножение способно его уничтожить.

a =

При каком значении a уравнение a·x = 5 не имеет корней?

Три исхода

Любое линейное уравнение в конце концов принимает вид k·x = b с конкретными числами. Исходов всего три — научись узнавать их мгновенно. Отвечай сериями:

верных подряд: 0 · рекорд серии: 0

Первый графический счётчик: |x| = a

График левой части — «галочка» y = |x|, она неподвижна. График правой — горизонталь y = a, её двигает параметр. Число корней уравнения = число точек пересечения. Это и есть графический метод — главный инструмент курса.

a =

При каком значении a уравнение |x| = a имеет ровно один корень?

Перевёртыши: найди ошибку

На доске — первые решения задач с параметром. Не в каждом есть ошибка — реши сам и вынеси вердикт. Все ошибки здесь одного сорта: нарушена дисциплина ответа-словаря.

верных вердиктов: 0 из 0

Квиз: первый словарь

Пять коротких вопросов на язык параметра. Ответ — число; дробь пиши через точку или запятую.

Домашнее задание

Реши на бумаге, затем открой разбор и сверься. Требование одно: ответ должен быть словарём — на каждое значение параметра.