задание 18 · глава 4 · иррациональные уравнения

Иррациональные уравнения

Возведение в квадрат — сделка с дьяволом: корень исчезает, но к уравнению тайно подклеивается второе, «призрачное». Плата за сделку — условие на знак правой части, и кто его забывает, тот получает посторонние корни. В этой главе призраков видно глазами.

Равносильные переходы — три штампа

Учи их как таблицу умножения; ОДЗ отдельно выписывать не нужно — она уже внутри:

√A = B ⇔ A = B² и B ≥ 0.
Без условия B ≥ 0 квадрат склеивает √A = B с призраком −√A = B.

√A ≤ B ⇔ 0 ≤ A ≤ B².
Здесь B ≥ 0 получается само: A ≥ 0 и A ≤ B².

√A ≥ B ⇔ A ≥ B², если B ≥ 0; и просто A ≥ 0, если B < 0.
Отрицательному B корень проигрывает автоматически — вся ОДЗ подходит.

С параметром знак правой части часто зависит от параметра — и разбор «B ≥ 0 или B < 0» превращается в разбор значений параметра. Это и есть типовой сюжет задач теста 0510.

Замена t = √(…)

Если корень входит в уравнение целиком, замена t = √(x + a) снимает его одним движением — но приносит условие t ≥ 0. Например, 8√(x + a) = x + 4 при x = t² − a превращается в t² − 8t + 4 − a = 0, и дальше считаются только неотрицательные корни по t. Каждый годный t даёт ровно один x — счёт корней переносится с x на t.

Сдвиг кривой

График y = √(x + a) — одна и та же кривая, сдвинутая на a влево. Семейство сдвигов против неподвижной прямой — готовый графический метод: перестройки числа корней происходят в момент касания и в момент, когда прямая проходит через начало кривой (точку излома ОДЗ). Оба момента увидишь в живых моделях.

Корень против прямой — и призрачная ветвь

Уравнение √(x + a) = x. Сплошная кривая — левая часть, прямая — правая. Пунктирная нижняя дуга — призрак y = −√(x + a), которого возведение в квадрат подклеивает к задаче. Красный ✕ — посторонний корень: он живёт на призрачной ветви.

a =

При каком значении a прямая касается кривой (ровно один корень касанием)?

Загадочный корень

Перед тобой график y = k·√(x − h) + v. Отмечены начало кривой и ещё один узел. Восстанови коэффициенты.

k = h = v =

разгадано подряд: 0 · рекорд серии: 0

Подсказка: начало кривой — точка (h; v). Дальше k = (y − v)/√(x − h) по второму узлу; знак k показывает, вверх или вниз смотрит ветвь.

Отрезок и луч: неравенство теста 0510

Неравенство √(x − 2) ≤ p. При p < 0 решений нет вовсе, а при p ≥ 0 решения — отрезок [2; 2 + p²]. Двигай p и следи за длиной: равные шаги параметра дают неравные приращения — длина растёт как p².

p =

При каком значении p длина отрезка решений равна 9?

Перевёртыши: найди ошибку

На доске — решения иррациональных задач с параметром. Не в каждом есть ошибка — реши сам и вынеси вердикт. Все местные ошибки — про отбор корней и знак правой части.

верных вердиктов: 0 из 0

Квиз по тесту 0510

Пять вопросов. Ответ — число; дробь пиши через точку, запятую или как -1/4.

Домашнее задание

Реши на бумаге, затем открой разбор и сверься.