задание 18 · глава 1 · линейные уравнения и неравенства

Линейные уравнения и неравенства

Всё уравнение k·x = b с параметром держится на одном вопросе: не обнулился ли коэффициент при x. Пока k ≠ 0 — корень единственный. Как только k = 0 — начинаются особые случаи, и именно за них ставят баллы.

Один рефлекс на всю главу

Любое линейное уравнение сводится к виду k·x = b, где k и b — выражения с параметром. Дальше — развилка, и её нельзя проскочить:

k ≠ 0. Делим на коэффициент: единственный корень x = b/k.

k = 0, b ≠ 0. Получилось 0·x = b — левая часть всегда 0, правая нет. Корней нет.

k = 0, b = 0. Получилось 0·x = 0 — верно при любом x. Корень любой — подходит вся числовая прямая.

Главная ошибка задания — сразу написать x = b/k и «потерять» случай k = 0. Сначала приравняй коэффициент при x к нулю — это и есть подозрительные значения параметра.

Когда коэффициент при x — число

Если перед x стоит ненулевая константа (например, 3x = a), обнуляться нечему — развилки нет, ответ сразу x = a/3 при любом a. А вот в a·x = 3 коэффициент — сам параметр, и случай a = 0 обязателен.

«И не только линейные» — что дальше в курсе

К этому же вагону цепляются уравнения, которые после одного шага становятся линейными или почти линейными:

√x = a — есть корень только при a ≥ 0 (тогда x = a²), при a < 0 корней нет.
|x| = −b — модуль неотрицателен: при −b < 0 корней нет, при −b = 0 один корень x = 0, при −b > 0 два корня x = ±(−b).
(x+1)/(x+a) = 0 — дробь равна нулю, когда числитель ноль и знаменатель нет: x = −1 подходит только при a ≠ 1.

Эти сюжеты подробно разбираются в главах про дроби, корни и модули — здесь важно просто их узнавать.

Две прямые: y = k·x и y = b

Уравнение k·x = b — это вопрос «где прямая y = kx пересекает горизонталь y = b». Двигай коэффициенты и лови два особых положения ручки k: график наверху объясняет, что происходит с корнями внизу.

k =

b =

Загадочная прямая

Перед тобой график y = k·x + b. По двум отмеченным узлам восстанови коэффициенты и впиши их. Это тренировка глаза перед графическим методом.

k = b =

разгадано подряд: 0 · рекорд серии: 0

Перевёртыши: найди ошибку

На доске — решения линейных уравнений и неравенств с параметром. Не в каждом есть ошибка — реши сам и вынеси вердикт. Находить чужие ошибки труднее, чем решать: в этом и смысл.

верных вердиктов: 0 из 0

Мини-тест 2109

Пять коротких вопросов на крайние случаи линейного уравнения. Впиши число — ответ проверится. Дробь пиши через точку или запятую (например, 2.5).

Домашнее задание

Реши на бумаге, затем открой разбор и сверься.