← Оглавление

задание 18 · глава 2 · квадратные уравнения

Квадратные уравнения с параметром

Три инструмента решают почти всё: разложение на множители (корни вида a и a + 1 экономят полстраницы), дискриминант (число корней) и Виета (сумма и произведение — но только если корни существуют). Здесь каждый инструмент — с живым графиком.

Сначала попробуй разложить

Прежде чем считать дискриминант с параметром, поищи разложение подбором по Виете: сумма и произведение часто подсказывают корни-выражения. Проверь себя на трёх карточках:

x² + (a² + a)x + a³ = 0

x² + (a² + a)x + a²·a = 0 → x₁ = −a², x₂ = −a

x² − 6x + 6a − a² = 0

x² − 6x + a(6 − a) = 0 → x₁ = a, x₂ = 6 − a

x² − x − (a² − a) = 0

x² − x + a(1 − a) = 0 → x₁ = a, x₂ = 1 − a

Проверка всегда одна: сумма корней = −(коэффициент при x), произведение = свободный член.

Три ловушки главы

Виета без проверки. Нашёл параметр из суммы или произведения корней — подставь обратно и проверь, что корни вообще существуют (D ≥ 0). Половина «красивых» значений отсеивается.
Старший коэффициент с параметром. Уравнение (a − 1)x² + … при a = 1 — вовсе не квадратное. Этот случай разбирается отдельно, как k = 0 в первой главе.
Расположение корней. «Корни по разные стороны от числа M» — это не про дискриминант, а про знак: при старшем коэффициенте > 0 достаточно f(M) < 0.

Загадочная парабола

Перед тобой график y = ax² + bx + c. Отмечены вершина и две симметричные точки. Восстанови коэффициенты. Дробный a пиши как 0.5 или 1/2.

разгадано подряд: 0 · рекорд серии: 0

Подсказка: a виден по «шагу» параболы (на 1 вправо от вершины — вверх на a), b = −2a·h, c = высота при x = 0.

Касание оси: живой дискриминант

Уравнение x² − 2a·x + a + 3 = 0. Двигай параметр и лови момент, когда парабола касается оси — это и есть D = 0.

Ровно один корень — при D = 0, то есть когда a² − a − 3 = 0. Корни этого уравнения по параметру иррациональны: a = (1 ± √13)/2. Но Виета работает и для параметра — проверь себя:

Корни по разные стороны от точки

Задача из теста 0510: при каких p один корень уравнения (p² + p + 1)·x² + (2p − 3)·x + p = 11 меньше 2, а другой больше 2?

Старший коэффициент p² + p + 1 > 0 при всех p, значит ветви всегда вверх, и условие «x₁ < 2 < x₂» равносильно одному неравенству: f(2) < 0. Двигай p и смотри на точку графика над x = 2.

f(2) = 4p² + 9p − 13 = (p − 1)(4p + 13). Реши неравенство f(2) < 0 и впиши границы интервала:

Перевёртыши: найди ошибку

На доске — решения квадратных задач с параметром. Не в каждом есть ошибка — реши сам и вынеси вердикт.

верных вердиктов: 0 из 0

Виета с ловушкой

Три задачи, где параметр находится из Виеты — а потом проверяется существование корней. Если подходящих значений несколько, перечисли их через точку с запятой (например: 0; -1).

Домашнее задание

Реши на бумаге, затем открой разбор и сверься.