задание 17 · развёрнутый ответ · 3 балла
Пункт а) — доказать, пункт б) — вычислить. Здесь доказательства собираются по шагам, а каждый шаг подсвечивает на чертеже ровно то, о чём говорит.
Почти каждая задача 17 стоит на двух-трёх из этих фактов. Разверните и проговорите каждый своими словами.
Вписанный угол равен половине центрального, опирающегося на ту же дугу. Следствия: углы, опирающиеся на одну дугу, равны; угол, опирающийся на диаметр, прямой.
Угол между касательной и хордой, проведённой в точку касания, равен вписанному углу, опирающемуся на эту хорду (половине дуги, заключённой внутри угла). Касательная перпендикулярна радиусу в точке касания.
Если хорды AB и CD пересекаются в точке P, то AP·PB = CP·PD. Это следствие подобия треугольников APC и DPB по двум углам.
Если из точки M проведены касательная MA и секущая MBC, то MA² = MB·MC. За этим тоже стоит подобие: △MAB ∼ △MCA.
Подобие доказывают по двум углам или по углу и отношению прилежащих сторон. Отношение сходственных отрезков равно k, отношение площадей — k².
Равные вписанные углы высекают равные дуги, а равные дуги стягиваются равными хордами. Биссектриса вписанного угла делит противоположную дугу пополам.
Четырёхугольник вписан в окружность тогда и только тогда, когда суммы его противоположных углов равны 180°.
Накрест лежащие углы при параллельных прямых и секущей равны — и наоборот: равенство накрест лежащих углов доказывает параллельность. Параллельные основания дают подобные треугольники при диагоналях.