Стереометрия с доказательством

Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости, она перпендикулярна всей плоскости — а значит и любой прямой в ней. Слово «пересекающимся» обязано прозвучать в доказательстве: без него признак неверен и балл не ставят.

Прямая в плоскости перпендикулярна наклонной тогда и только тогда, когда она перпендикулярна её проекции. Это главный инструмент построения линейного угла и доказательства перпендикулярности апофемы ребру основания.

Если плоскость проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то плоскости перпендикулярны. Схема доказательства всегда одна: сначала показываем, что прямая перпендикулярна плоскости, потом замечаем, что она лежит во второй плоскости.

Две параллельные плоскости пересекаются третьей по параллельным прямым — это позволяет достроить сечение. Прямая параллельна плоскости, если она параллельна какой-нибудь прямой этой плоскости.

Расстояние от точки до плоскости: d = 3V/S, где V — объём пирамиды с вершиной в этой точке, а S — площадь грани, лежащей в плоскости. Объём одной и той же пирамиды считают двумя способами — это самый надёжный путь в пункте б).

Из точки на ребре проводим в обеих гранях перпендикуляры к ребру — угол между ними и есть искомый. В правильной пирамиде это угол между апофемой и её проекцией: косинус равен отношению радиуса вписанной окружности основания к апофеме.

Высота h, апофема m, радиус вписанной окружности основания r и радиус описанной R связаны двумя прямоугольными треугольниками: m² = h² + r² (для боковой грани) и l² = h² + R² (для бокового ребра). Почти любой счёт сводится к этим двум равенствам.

Три строчки: что перпендикулярно чему и почему (ссылка на теорему), что прямые пересекаются, вывод по признаку. Чертёж обязателен, но сам по себе не доказательство. Фразы «очевидно» и «из рисунка видно» балла не приносят.