Откуда взялись синус и косинус, что они когда-то измеряли, при чём тут число π — и зачем угол превратили в число t.
Из этих четырёх выводится многое: замените β на −β — получите формулы разности (sin меняет знак, cos — нет); подставьте sin²α = 1 − cos²α в cos 2α — выйдет cos 2α = 1 − 2sin²α = 2cos²α − 1, а отсюда — понижение степени. Наизусть остаются: основное тождество sin²α + cos²α = 1, табличные значения и формулы приведения — их листок не выдаёт.
Карта пути от 8 к 10 классу
В 8 классе синус, косинус и тангенс жили только внутри прямоугольного треугольника, а угол измерялся в градусах от 0° до 90°. В 10 классе мы их освобождаем: переносим на координатную окружность, где угол становится числом и может быть любым. Этот тренажёр проводит через переход шаг за шагом — и заглядывает в историю, откуда всё это взялось.
«Синус» — это испорченная «тетива лука», а когда-то он был не отношением, а длиной. Разберём этимологию и число π.
sin, cos, tg острого угла как отношения сторон. И как доставали их значения по таблицам Брадиса до калькуляторов.
Три оси и три переменные. Угол = длина дуги. Ведём точку, режем круги, добавляем оси тангенса и котангенса.
Чтобы синус стал обычной функцией — как √x или парабола — у которой есть график, производная и интеграл.
Мы причёсываем алгебру перед матанализом. Цель — чтобы sin и cos перестали быть «свойством угла в треугольнике» и стали полноценными функциями y = sin x, y = cos x — такими же, как y = √x или y = 1/x. У такой функции есть график, от неё можно взять производную и интеграл. А для этого вход должен быть обычным числом — и им становится длина дуги.
Самая запутанная опечатка в истории математики
Сегодня синус — это отношение. Но родился он как длина. Древние астрономы измеряли не углы, а хорды дуг: представьте дугу окружности как лук, а стягивающую её хорду — как тетиву. Индийские математики (Ариабхата, около 500 г. н. э.) заметили, что удобнее работать с половиной хорды — и назвали её на санскрите джья (jyā) — «тетива лука».
Синус дополнительного угла
Косинус — это сокращение от латинского sinus complementi, «синус дополнения». Два острых угла прямоугольного треугольника в сумме дают 90° — они дополняют друг друга. И оказывается:
То есть косинус угла — это синус его «соседа до прямого угла». Поэтому если для угла α противолежащий катет даёт синус, то для дополнительного угла этот же катет становится прилежащим — и даёт косинус. Отсюда приставка «ко-» (от лат. complementi, «дополнения»): котангенс и косеканс названы так же.
Связь определения с «линией синуса»
Теперь понятно, откуда взялось само отношение. Поставим острый угол в центр окружности радиуса R. Радиус — это гипотенуза. «Линия синуса» (та самая полухорда) — это противолежащий катет: вертикальный отрезок от точки до горизонтальной оси. «Линия косинуса» — прилежащий катет.
Первая встреча с бесконечностью
π — это отношение длины любой окружности к её диаметру. Оно одинаково для всех кругов: большой колесо или монетка — отношение всегда ≈ 3,14159. Для нас π особенно важно: длина единичной окружности равна 2π, и именно поэтому полный оборот станет числом 2π.
База 8 класса: синус, косинус и тангенс острого угла
У прямоугольного треугольника есть гипотенуза (напротив прямого угла) и два катета. Для острого угла α один катет — противолежащий (напротив угла), другой — прилежащий (примыкает к углу).
Как доставали значения до калькуляторов
Хорошо, sin α = противолежащий/гипотенуза. Но чему равен sin 37° числом? Сегодня — кнопка на калькуляторе. А весь XX век школьники и инженеры открывали таблицы Брадиса — «Четырёхзначные математические таблицы» Владимира Модестовича Брадиса. Там значения функций посчитаны заранее с точностью до 4-й цифры.
Один трюк — и катеты становятся координатами
Возьмём треугольник и сделаем гипотенузу равной 1. Тогда деление на 1 ничего не меняет: sin α = противолежащий катет, cos α = прилежащий катет. Поставим угол в начало координат, прилежащий катет — вдоль оси x. Гипотенуза становится радиусом длины 1, а её конец — точкой P.
Три оси, три переменные и угол-число
Теперь у нас три оси: две прямые — x и y — и одна «круглая», сама окружность радиуса 1. И три переменные: координаты точки x, y и положение точки t.
Полезно помнить наизусть — клик по строке переносит точку на окружности выше.
| градусы | t (рад) | x = cos t | y = sin t | четверть |
|---|
Направление, обороты и почему дуга = угол
Хватаем точку и ведём её по окружности. За точкой тянется дуга — и её длина и есть наш угол-число t. Ведём против часовой стрелки — угол растёт (это положительное направление). По часовой — угол уходит в минус. Прошли полный круг — намотали 2π; ещё круг — 4π. Угол теперь любое число.
Где на картинке живут tg и ctg
На окружности легко увидеть и тангенс с котангенсом. Проведём касательную к окружности в точке (1, 0) — это вертикальная прямая ось тангенсов. Продолжим радиус OP (как прямую) до пересечения с ней — высота точки пересечения и есть tg t. Касательная в точке (0, 1) — горизонтальная ось котангенсов; там читаем ctg t.
Чтобы он стал обычной функцией
Вот ради чего всё затевалось. В треугольнике синус — это «свойство угла»: вход — геометрический угол, да ещё только от 0° до 90°. От такого объекта нельзя взять производную: «производная треугольника» — бессмыслица. А нам нужно, чтобы sin и cos стали функциями ровно как y = x², y = √x или y = 1/x: вход — обычное число, выход — обычное число.
Разворачиваем круг в график
Покрутите точку слева — её высота y = sin t переносится вправо и вычерчивает волну. Так из вращения по окружности рождается график функции. Это и есть «синус как функция»: каждому числу t соответствует ровно одно значение.
Проверь, как держатся в голове идеи и переход
Семь навыков: от таблицы и радианов до уравнений и прикладных задач типов 6, 7, 9
Это не контрольная, а тренировка с разбором: каждую задачу решаем по шагам — тренажёр спрашивает ровно то, о чём вы должны спросить себя сами. Четыре навыка — прямо из ЕГЭ (таблица, тождество, уравнение, опора), три — фундамент из школьной программы (радианы, четверти, приведение). Когда шаги станут привычными, переходите на вкладку «Экзамен»: там только условие и поле ответа.
Значения синуса — это лесенка √n/2: подставьте n = 0, 1, 2, 3, 4. Косинус — та же лесенка задом наперёд. Тангенс = синус ÷ косинус.
| 0° | 30° | 45° | 60° | 90° | |
|---|---|---|---|---|---|
| sin | √0/2 = 0 | √1/2 = 1/2 | √2/2 | √3/2 | √4/2 = 1 |
| cos | 1 | √3/2 | √2/2 | 1/2 | 0 |
| tg | 0 | √3/3 | 1 | √3 | — |
В задачах типа 7 нужно только подставить значения и аккуратно посчитать. Если в выражении два одинаковых корня — коэффициенты при них складываются, а корень выносится за скобку.
Возьмём окружность радиуса 1 и отложим по ней дугу. Длина этой дуги и есть угол в радианах. Полуокружность имеет длину π, поэтому главный мостик такой:
π радиан = 180°
Отсюда оба перевода: градусы → радианы — умножаем на π/180; радианы → градусы — вместо π подставляем 180°.
| град. | 30° | 45° | 60° | 90° | 180° | 270° | 360° |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| рад. | π/6 | π/4 | π/3 | π/2 | π | 3π/2 | 2π |
Зачем это нужно: с радианами угол становится обычным числом — и только тогда работают графики, производные и вся «взрослая» математика.
Никакой магии: cos — это координата x, sin — координата y точки на окружности. Правее оси y косинус положителен, выше оси x положителен синус. Тангенс = sin/cos: он положителен там, где знаки совпадают.
| 1-я (0–90°) | 2-я (90–180°) | 3-я (180–270°) | 4-я (270–360°) | |
|---|---|---|---|---|
| sin | + | + | − | − |
| cos | + | − | − | + |
| tg | + | − | + | − |
Четверти нумеруются против часовой стрелки от положительной оси x. Ответ на вопрос «какая четверть» вводится цифрой 1–4.
Любой «неудобный» угол раскладываем через ось: 150° = 180° − 30°, или 5π/6 = π − π/6. Дальше два вопроса:
1. Меняется ли функция? Если в разложении π или 2π (горизонтальная ось) — функция остаётся собой. Если π/2 или 3π/2 (вертикальная ось) — меняется на кофункцию: sin ↔ cos. Мнемоника-«лошадка»: вдоль вертикали киваем «да», вдоль горизонтали мотаем «нет».
2. Какой знак? Смотрим, в какую четверть попал исходный угол, и берём знак исходной функции в этой четверти (α считаем острым).
Пример: cos 150° = cos(180° − 30°) → остаётся cos → 2-я четверть, cos там «−» → −cos 30° = −√3/2.
На уровне «Профиль»: вдоль вертикали tg меняется на котангенс. Значения: ctg 30° = √3, ctg 45° = 1, ctg 60° = √3/3.
На единичной окружности гипотенуза — радиус, он равен 1. Катеты — это cos α и sin α. Пишем теорему Пифагора:
sin²α + cos²α = 1²= 1
Угол может быть любым — 23°, 58°, буква t: сумма квадратов всё равно равна единице. В задачах эта сумма прячется в выражении; найдите её, замените на 1 — останется арифметика.
Шаг 1. Спросите: «функция какого угла равна a?» — и найдите этот угол в таблице (π/6, π/4 или π/3).
Шаг 2. Приравняйте аргумент к этому углу: πx/n = π/m. Число π сокращается — остаётся линейное уравнение, x = n/m.
Шаг 3. Проверьте, что найденный x лежит на заданном отрезке. В ЕГЭ отрезок выбирают так, чтобы подходил ровно один корень, — но проверить обязаны вы.
В прикладных задачах типа 9 наклонная опора — это гипотенуза прямоугольного треугольника. Дальше 8 класс:
высота = L · sin α · расстояние по земле = L · cos α
Мнемоника: синус поднимает вверх (противолежащий катет), косинус стелется по земле (прилежащий). После подстановки табличного значения сократите дробь: 6·√2/2 — это 3√2, а не «шесть корней из двух пополам». На «Профиле» бывает наоборот: дана высота — найдите длину (деление вместо умножения).