ЕГЭ по информатике — задание 15

Обозначим через $ДЕЛ(n, m)$ утверждение «натуральное число n делится без остатка на натуральное число m». Для какого наименьшего натурального числа A формула

$(ДЕЛ(x,12)∧ДЕЛ(x,5))→ ДЕЛ(x,А)$

тождественно истинна (то есть принимает значение 1 при любом натуральном значении переменной х)?

Обозначим как $ДЕЛ(х, А)$ утверждение, что натуральное число х делится на А без остатка.

Для приведённого ниже выражения укажите минимальное натуральное значение x > 1, при котором выражение будет истинным.

$(ДЕЛ(x,30)∨ДЕЛ(15, x))$

Обозначим как $ДЕЛ(х, А)$ утверждение, что натуральное число х делится на А без остатка.

Для приведённого ниже выражения укажите значение для х = 30, x = 60, x = 90, если 1 — это истина, а 0 — ложь. В ответе укажите 3 числа без пробелов.

$(ДЕЛ(x,30)∧¬ДЕЛ(x,45))$

Для какого наименьшего целого неотрицательного числа А выражение

$(x\ge 45)\vee (A>x)$

тождественно истинно, то есть принимает значение 1 при любом целом неотрицательном x?

Для какого наименьшего целого неотрицательного числа А выражение

$(x>78)\vee (A>x)$

тождественно истинно, то есть принимает значение 1 при любом целом неотрицательном x?

Введём выражение M & K, обозначающее поразрядную конъюнкцию M и K (логическое «И» между соответствующими битами двоичной записи).

M = 33, K = 78, чему равно M & K?

Ответ укажите в десятичной системе счисления.

Введём выражение M & K, обозначающее поразрядную конъюнкцию M и K (логическое «И» между соответствующими битами двоичной записи).

$M =100100111_{2}$, $K =1100110010_{2}$, сколько единиц в записи M & K?

На числовой прямой даны три отрезка: $P = [5; 17]$, $Q = [10; 21]$ и $R = [12; 30]$. Укажите значение логического выражения при $x = 30$, $x = 9$, $x = 4$, если $1$ означает истину, а $0$ — ложь. В ответе запишите три числа без пробелов.

$\lnot(x \in Q) \land \lnot(x \in P) \lor (x \in R)$

На числовой прямой дан отрезок: $P = [5; 22]$. Укажите наименьшую возможную длину такого отрезка $A$, для которого логическое выражение

$(x \in P) \land \lnot(x \in A)$

ложно (т. е. принимает значение $0$) при любом значении переменной $x$.

На числовой прямой дан отрезок: $P = [10; 21]$. Укажите наименьшую возможную длину такого отрезка $A$, для которого логическое выражение

$\lnot(x \in P) \lor (x \in A)$

истинно (т. е. принимает значение $1$) при любом значении переменной $x$.

Элементами множеств $P$ и $Q$ являются натуральные числа, причём

$P = \{ 15, 18, 24, 33, 41 \}$ и $Q = \{ 3, 9, 18, 35, 41 \}$.

Известно, что выражение

$(x \notin P) \land (x \notin Q)$

может быть истинным или ложным в зависимости от значениея $x$.

Определите количество значений $x$, при которых значение выражения будет ложно.

Элементами множеств $P$ и $Q$ являются натуральные числа, причём

$P = \{ 1, 12, 14, 31, 40, 94 \}$ и $Q = \{ 1, 10, 12, 13, 40 \}$.

Известно, что выражение

$(x \in P) \to (x \notin Q)$

может быть истинным или ложным в зависимости от значения $x$.

Определите количество значений $x$, при которых значение выражения будет ложно.

Элементами множеств $P$ и $Q$ являются натуральные числа, причём

$P = \{ 3, 4, 5, 8, 12 \}$ и $Q = \{ 3, 6, 8, 9, 35 \}$.

Известно, что выражение

$(x \in P) \land (x \in Q)$

может быть истинным или ложным в зависимости от значения $x$.

Определите количество значений $x$, при которых значение выражения будет истинно.

Обозначим через $ДЕЛ (n, m)$ утверждение «натуральное число $n$ делится без остатка на натуральное число $m$».

Для какого наименьшего натурального числа $A$ выражение

$ДЕЛ(x, A) \to (\lnot ДЕЛ(x, 25) \lor ДЕЛ(x, 16))$

истинно (т. е. принимает значение 1) при любом натуральном значении переменной $х$?

На числовой прямой даны отрезки: P = [7;16], Q = [25;32]. Укажите наименьшую длину такого отрезка А, для которого логическое выражение

$((x \in P) \to (x \in A)) \lor (\lnot (x \in Q) \to (x \in A))$

истинно (т. е. принимает значение 1) при любом значении переменной x.

На числовой прямой даны два отрезка: $B = [22; 40]$ и $C = [32; 50]$. Укажите наименьшую возможную длину такого отрезка $A$, для которого логическое выражение

$\lnot (x \in A) \to ((x \in B) \equiv (x \in C))$

истинно (т. е. принимает значение 1) при любом значении переменной $х$.

На числовой прямой даны два отрезка: $P$=[19; 142] и $Q$=[75; 185]. Укажите наименьшую возможную длину такого отрезка $A$, для которого логическое выражение

$\neg((x\in Q)\rightarrow((\neg(x\in A)\land(x\in P))\rightarrow\neg(x \in Q)))$
ложно (т. е. принимает значение 0) при любом значении переменной $x$.

Для какого наименьшего целого неотрицательного числа А логическое выражение

$(3y -x > 12) \lor (2x+6y \ge 72) \lor (x > 24) \lor (x \cdot y < A)$

тождественно истинно (т. е. принимает значение 1) при любых целых неотрицательных x и y?

Обозначим через $ДЕЛ (n, m)$ утверждение «натуральное число $n$ делится без остатка на натуральное число $m$».

Для какого наибольшего натурального числа $A$ выражение

$\lnot ДЕЛ(x, A) \to (\lnot ДЕЛ(x, 48) \lor \lnot ДЕЛ(x, 35))$

истинно (т. е. принимает значение 1) при любом натуральном значении переменной $х$?

Для какого наименьшего целого неотрицательного числа А логическое выражение

$(2x - y \ge A) \land (y \ge 17) \land (78 \ge x)$

тождественно ложно (т. е. принимает значение 0) при любых целых неотрицательных x и y?

Обозначим через $ДЕЛ(n, m)$ утверждение «натуральное число $n$ делится без остатка на натуральное число $m$».

Для какого наибольшего натурального числа $А$ выражение

$ДЕЛ(х,128) \to (\lnot ДЕЛ(х,А) \to \lnot ДЕЛ(х,80))$

истинно (т. е. принимает значение 1) при любом натуральном значении переменной $х$?

Для какого наименьшего целого положительного числа $А$ выражение

$(x \lt A) \land (y \lt 3A) \lor (2x + y \gt 128)$

истинно (т. е. принимает значение 1) при любых целых положительных $х$ и $у$?

Для какого наибольшего целого неотрицательного числа $А$ логическое выражение

$(2x + y \ne 110) \lor (x \lt y) \lor (A \lt x)$

истинно (т. е. принимает значение 1) при любых целых неотрицательных х и у?

Для какого наибольшего целого неотрицательного числа $А$ логическое выражение

$(x \cdot y \gt A) \lor (x \gt y) \lor (11 \gt x)$

тождественно истинно (т. е. принимает значение 1) при любых целых неотрицательных $x$ и $y$?

На числовой прямой даны два отрезка: $P = [25; 64]$ и $Q = [40; 115]$. Укажите наименьшую возможную длину такого отрезка $A$, для которого логическое выражение

$(x \in P) \to (((x \in Q) \land \lnot(x \in A)) \to \lnot(x \in P))$

истинно (т. е. принимает значение $1$) при любом значении переменной $x$.

На числовой прямой даны три отрезка: $P = [10; 150]$, $Q = [160; 250]$ и $R = [240; 300]$. Укажите наименьшую возможную длину такого отрезка $A$, для которого логическое выражение

$((x \in Q) \to (x \in P)) \lor (\lnot(x \in A) \to (x \in R))$

истинно (т. е. принимает значение $1$) при любом значении переменной $x$.

Обозначим через $m \& n$ поразрядную конъюнкцию неотрицательных целых чисел $m$ и $n$. Так, например, $14 \& 5 = 1110_2 \& 0101_2 = 0100_2 = 4$.

Для какого наименьшего неотрицательного целого числа А логическое выражение

$((x \& 52 \neq 0) \land (x \& 48 = 0)) \to \lnot(x \& А = 0)$

истинно (т. е. принимает значение 1) при любом неотрицательном целом значении переменной $х$?

Обозначим через $ДЕЛ(n, m)$ утверждение «натуральное число $n$ делится без остатка на натуральное число $m$». Для какого наименьшего натурального числа $А$ логическое выражение

$(¬ДЕЛ(x,100)∧ДЕЛ(x,4))∨ДЕЛ(x,400)∨¬ДЕЛ(x,A)$

тождественно истинно (т. е. принимает значение 1 при любом натуральном значении переменной $х$)?

Обозначим через $\text{ДЕЛ}(n, m)$ утверждение «натуральное число $n$ делится без остатка на натуральное число $m$». Пусть на числовой прямой дан отрезок $B = [132; 150]$. Для какого наименьшего натурального числа А большего 1 логическое выражение

$
(\lnot\text{ДЕЛ}(x, A) \land (x \in B)) \to \lnot \text{ДЕЛ}(x, 13)
$

истинно (т. е. принимает значение 1) при любом целом положительном значении переменной х?

На числовой прямой даны два отрезка: $P = [15; 40]$ и $Q = [21; 63]$. Укажите наименьшую возможную длину такого отрезка $A$, для которого логическое выражение

$(x \in P) \to (((x \in Q) \land \lnot(x \in A)) \to \lnot(x \in P))$

истинно (т. е. принимает значение $1$) при любом значении переменной $x$.

Для какого наименьшего целого неотрицательного числа $A$ логическое выражение

$(2y > 5x) \lor (xy < a) \lor (x \geq 22)$

тождественно истинно (т. е. принимает значение $1$) при любых целых неотрицательных $x$ и $y$?

Для какого наименьшего целого числа $A$ выражение

$((y+x)^2>1048) \lor ((x+20<A) \land (40-y<A))$

всегда истинно, т. е. принимает значение $1$ при любых целых положительных $x$ и $y$?

Обозначим через ДЕЛ(n, m) утверждение «натуральное число n делится без остатка на натуральное число m».

Для какого наименьшего натурального числа А формула

$\lnot (\text{ДЕЛ}(x, 3) \land \text{ДЕЛ}(x, 5)) \lor (A \geq 42 - x)$

тождественно истинна (т. е. принимает значение 1) при любом натуральном значении переменной х?

Для какого наибольшего целого числа $A$ выражение

$((x \geq A) \lor (121 \geq x^2)) \land ((y^2 < 49) \lor (A < y))$

тождественно истинно, т. е. принимает значение 1 при любых целых неотрицательных $x$ и $y$?

Сколько существует целых значений $А$, при которых формула

$$((x < A) \to (x \cdot x \leq 169)) \land ((y \cdot y < 16) \to (y \leq A))$$

тождественно истинна (то есть принимает значение 1 при любых целых неотрицательных значениях переменных $x$ и $y$)?

Обозначим через $\text{ДЕЛ}(n, m)$ утверждение: «натуральное число $n$ делится без остатка на натуральное число $m$».

Для какого наименьшего натурального числа $A$ формула

$
\lnot\text{ДЕЛ}(x, 72) \lor \text{ДЕЛ}(x, 495) \lor \lnot\text{ДЕЛ}(x, A)
$

тождественно истинна (то есть принимает значение 1 при любом натуральном значении переменной $x$)?

Обозначим через $m \& n$ поразрядную конъюнкцию неотрицательных целых чисел $m$ и $n$.

Так, например,
$14 \& 5 = 1110_2 \& 0101_2 = 0100_2 = 4.$

Для какого наименьшего неотрицательного целого числа A формула

$(x \& 91 = 0) \lor ((x \& 77 = 0) \to (x \& A \ne 0))$

тождественно истинна, т. е. принимает значение 1 при любом неотрицательном целом значении переменной x?

Элементами множеств $A$, $P$ и $Q$ являются целые числа, причём

$P = \{ -42, -10, -8, 2, 16 \}$ и $Q = \{ -10, -4, 2, 15, 23 \}$.

Известно, что выражение

$((x \in A) \to (x \in P)) \lor (x \in Q)$

истинно (т. е. принимает значение 1) при любом значении переменной $x$.

Определите наибольшую возможную сумму элементов множества $A$.

Введём выражение M & K, обозначающее поразрядную конъюнкцию M и K (логическое «И» между соответствующими битами двоичной записи). Так, например,

$14 \& 5 = 1110_{2} \& 0101_{2} = 0100_{2} = 4$.

Определите количество натуральных чисел a, таких что выражение

$(x \& 13 = 0) ∧ (x \& 18 \neq 0) \vee ((x \& 21 = 0) \to ((x \& a = 0) ∧ (x \& 21 = 0)))$

тождественно истинно, то есть принимает значение 1, при любом неотрицательном целом значении переменной х.

Обозначим через m & n поразрядную конъюнкцию неотрицательных целых чисел m и n. Так, например,

$14 \& 5 = 1110_{2} \& 0101_{2} = 0100_{2} = 4$.

Для какого наименьшего неотрицательного целого числа А формула

$((x \& 42=0)→(x \& 51≠0))→(x \& A≠0)$

тождественно истинна (т. е. принимает значение 1 при любом неотрицательном целом значении переменной х)?

Обозначим через m & n поразрядную конъюнкцию неотрицательных целых чисел m и n. Так, например,

$14 \& 5 = 1110_{2} \& 0101_{2} = 0100_{2} = 4$.

Для какого наибольшего неотрицательного целого числа А формула

$(x \& 52=4)\to((x \& 26=2)→(x \& A=6))$

тождественно истинна (т. е. принимает значение 1 при любом неотрицательном целом значении переменной х)?

Элементами множеств $A$, $P$ и $Q$ являются натуральные числа, причём

$P = \{ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10 \}$ и $Q = \{ 3, 5, 7, 8, 30 \}$.

Известно, что выражение

$((x \notin Q) \to (x \notin A)) \land ((x \in P) \to (x \notin A))$

истинно (т. е. принимает значение 1) при любом значении переменной $x$.

Определите наибольшее возможное количество элементов множества $A$.

Элементами множеств $A$, $P$ и $Q$ являются натуральные числа, причём

$P = \{ 5, 10, 15, 20, 25, 30 \}$ и $Q = \{ 15, 18, 21, 24, 27, 30 \}$.

Известно, что выражение

$\lnot((x \in P) \to \lnot(x \in Q)) \land (x \notin A)$

ложно (т. е. принимает значение 0) при любом значении переменной $x$.

Определите наименьшую возможную сумму элементов множества $A$.

Обозначим через m|n поразрядную дизъюнкцию неотрицательных целых чисел m и n. Так, например,

$12 | 6= 1100_{2} | 0110_{2} = 1110_{2} = 14$.

Определите наибольшее натуральное число A, такое что выражение

$((x | 50 > 70) \wedge (x | 17 \le 108)) \to ((x | 108 > 17) \wedge (x | a < 108))$

тождественно истинно (то есть принимает значение 1 при любом натуральном значении переменной x)?

Обозначим через m&n поразрядную конъюнкцию неотрицательных целых чисел m и n. Так, например,

$13 \& 7=1101_{2} \& 0111_{2}=0101_{2} = 5$.

Определите наибольшее натуральное число A из интервала [4, 92] такое, что выражение

$((x \& 46 ≠ 0) \to ((x \& A ≠ 0) \to (x \& 70 ≠ 0))) \to ((x \& 6 = 0) \wedge (x \& A ≠ 0) \wedge (x \& 70 = 0))$

тождественно ложно (то есть принимает значение 0 при любом натуральном значении переменной x).

Обозначим через m&n поразрядную конъюнкцию неотрицательных целых чисел m и n. Так, например,

$13 \& 7=1101_{2} \& 0111_{2}=0101_{2}=5$.

Определите наибольшее натуральное число A, при котором выражение

$(x \& A = 0) \vee ((x \& 44= 4) \to (x \& 27 = 10))$

тождественно истинно (то есть принимает значение 1 при любом натуральном значении переменной x).

Обозначим через m&n поразрядную конъюнкцию неотрицательных целых чисел m и n. Так, например,

$13\&7=1101_{2}\&0111_{2}=0101_{2}=5$.

Определите наибольшее натуральное число A такое, что выражение

$((x \& 49 ≠ 0) \to ((x \& A ≠ 0) \to (x \& 108 ≠ 0))) \to ((x \& 92 = 0) \wedge (x \& A ≠ 0) \wedge (x \& 49 ≠ 0))$

тождественно ложно (то есть принимает значение 0 при любом натуральном значении переменной x).

Обозначим через m&n поразрядную конъюнкцию неотрицательных целых чисел m и n. Так, например,

$13 \& 7=1101_{2} \& 0111_{2} = 0101_{2} = 5$.

Определите наименьшее натуральное число A, такое что выражение

$(( (X \& 28 ≠ 0) \vee (X \& A = 0)) \to (X \& 28 ≠ 0)) \vee (X \& A ≠ 0) \vee (X \& 39 = 0)$

тождественно истинно (то есть принимает значение 1 при любом натуральном значении переменной X).

Элементами множеств $A$, $P$ и $Q$ являются натуральные числа, причём

$P = \{ 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19\}$ и $Q = \{ 4, 9, 14, 19, 24, 29, 34, 39, 44, 49\}$.

Известно, что выражение

$((x \in A) \to (x \in P)) \lor (\lnot (x \in Q) \to \lnot (x \in A))$

истинно (т. e. принимает значение 1) при любом значении переменной $x$.

Определите наибольшую возможную сумму элементов множества $A$.

Элементами множеств $A$, $P$ и $Q$ являются натуральные числа, причём

$P = \{ 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19 \}$ и $Q = \{ 2, 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26, 29 \}$.

Известно, что выражение

$((x \in A) \to \lnot(x \in P)) \land (\lnot(x \in Q) \to \lnot(x \in A))$

истинно (т. е. принимает значение 1) при любом значении переменной $x$.

Определите наибольшее возможное количество элементов множества $A$.

Элементами множеств $A$, $P$ и $Q$ являются натуральные числа, причём

$P = \{ 18, 20, 22, 26, 27, 30 \}$ и $Q = \{ 20, 21, 27, 30 \}$.

Известно, что выражение

$((x \in P) \to (x \in Q)) \lor (x \in A)$

истинно (т. е. принимает значение 1) при любом значении переменной $x$.

Определите наименьшее возможное количество элементов множества $A$.

Элементами множеств $A$, $P$ и $Q$ являются натуральные числа, причём

$P = \{ 14, 16, 18, 20, 22, 24 \}$ и $Q = \{ 16, 19, 22, 25, 28 \}$.

Известно, что выражение

$(x \notin P) \lor ((x \notin Q) \to (x \in A))$

истинно (т. е. принимает значение 1) при любом значении переменной $x$.

Определите наименьшее возможное значение произведения элементов множества $A$.

Элементами множеств $A$, $P$ и $Q$ являются натуральные числа, причём

$P = \{ 14, 16, 18, 20, 22, 24 \}$ и $Q = \{ 16, 19, 22, 25, 28 \}$.

Известно, что выражение

$(x \in P) \to (((x \in Q) \land \lnot(x \in A)) \to \lnot(x \in P))$

истинно (т. е. принимает значение 1) при любом значении переменной $x$.

Определите наименьшее возможное значение суммы элементов множества $A$.

Для какого наибольшего целого неотрицательного числа А выражение

$(x\ge 8)\vee (A<(x*y))\vee (y\le 7)$

тождественно истинно, то есть принимает значение 1 при любых натуральных числах x и y?

Для какого наибольшего целого неотрицательного числа А выражение

$(x>10)\vee (A<(x \cdot y)) ∨(y<5)$

тождественно истинно, то есть принимает значение 1 при любых натуральных числах x и y?

Для какого наименьшего целого неотрицательного числа $А$ выражение

$(x\ge 15)\vee (A>(x \cdot y))\vee (y>3)$

тождественно истинно, то есть принимает значение $1$ при любых целых неотрицательных $x$ и $y$?

На числовой прямой даны два отрезка: $P = [10; 23]$ и $Q = [12; 30]$. Укажите наименьшую возможную длину такого отрезка $A$, для которого логическое выражение

$\lnot(x \in P) \lor (x \in A) \lor \lnot(x \in Q)$

истинно (т. е. принимает значение $1$) при любом значении переменной $x$.

Элементами множеств $P$, $Q$ и $R$ являются натуральные числа, причём

$P = \{ 10, 11, 31, 40, 43 \}$,
$Q = \{ 1, 12, 14, 31, 40, 94 \}$,
$R = \{ 1, 10, 12, 13, 40 \}$.

Известно, что выражение

$(x \in P) \lor ((x \in Q) \land (x \notin R))$

может быть истинным или ложным в зависимости от значения $x$.

Определите количество значений $x$, при которых значение выражения будет истинно.

Элементами множеств $P$, $Q$ и $R$ являются натуральные числа, причём

$P = \{ 1, 2, 4, 12, 13 \}$,
$Q = \{ 1, 4, 9, 13, 35, 81 \}$,
$R = \{ 2, 10, 13, 15, 35 \}$.

Известно, что выражение

$((x \notin P) \land (x \notin Q)) \lor (x \in R)$

может быть истинным или ложным в зависимости от значения $x$.

Определите количество значений $x$, при которых значение выражения будет ложно.

Для какого наименьшего целого неотрицательного числа A выражение

$(3x + y > A) \land (y < x) \land (x < 30)$

тождественно ложно, т. е. принимает значение 0 при любых целых неотрицательных x и y?

Обозначим через ДЕЛ(n, m) утверждение «натуральное число n делится без остатка на натуральное число m»; и пусть на числовой прямой дан отрезок B = [50; 70].

Для какого наибольшего натурального числа А формула

$ДЕЛ(x, A) \vee ((x \in B) \to \neg ДЕЛ(x, 21))$

тождественно истинна (т. е. принимает значение 1) при любом натуральном значении переменной х?

На числовой прямой даны два отрезка: $P = [117; 158]$ и $Q = [129; 180]$. Укажите наименьшую возможную длину такого отрезка $A$, для которого логическое выражение

$(x \in P) \to (((x \in Q) \land \lnot(x \in A)) \to \lnot(x \in P))$

истинно (т. е. принимает значение $1$) при любом значении переменной $x$.

Обозначим через **ДЕЛ(n, m)** утверждение «натуральное число n делится без остатка на натуральное число m». Для какого наибольшего натурального числа А, не превышающего 300 логическое выражение

$(\neg ДЕЛ(x, A) \wedge ДЕЛ(x, 35)) \to (\negДЕЛ(x, 21) \vee \negДЕЛ(x, 35))$

тождественно истинно (т. е. принимает значение 1 при любом натуральном значении переменной х)?

Обозначим через **ДЕЛ(n, m)** утверждение «натуральное число n делится без остатка на натуральное число m». Для какого наименьшего натурального числа А логическое выражение

$(\neg ДЕЛ(x, 26) \wedge ДЕЛ(x, A)) \to (ДЕЛ(x, 39) \vee \negДЕЛ(x, A))$

тождественно истинно (т. е. принимает значение 1 при любом неотрицательном целом значении переменной х)?

Обозначим через **ДЕЛ(n, m)** утверждение «натуральное число n делится без остатка на натуральное число m». Для какого наибольшего натурального числа А логическое выражение

$(\neg ДЕЛ(x, А) ∧ ДЕЛ(x, 24)) \to (\negДЕЛ(x, 16) ∨ \negДЕЛ(x, 24))$

тождественно истинно (т. е. принимает значение 1 при любом неотрицательном целом значении переменной х)?

Для какого наибольшего целого неотрицательного числа А логическое выражение

$(39 \neq y + 2x) \vee (A < x) \vee (A < y)$

истинно (т.е. принимает значение 1) при любых целых неотрицательных x и y?

На числовой прямой даны два отрезка: $P = [20; 67]$ и $Q = [33; 98]$. Укажите наименьшую возможную длину такого отрезка $A$, для которого логическое выражение

$(x \in P) \to (((x \in Q) \land \lnot (x \in A)) \to \lnot (x \in P))$

истинно (т. е. принимает значение $1$) при любом значении переменной $x$.

На числовой прямой даны два отрезка: $P = [15; 40]$ и $Q = [21; 63]$. Укажите наименьшую возможную длину такого отрезка $A$, для которого логическое выражение

$\lnot(x \in P) \to (((x \in Q) \land \lnot(x \in A)) \to (x \in P))$

истинно (т. е. принимает значение $1$) при любом значении переменной $x$.

Для какого наибольшего целого неотрицательного числа $А$ выражение

$(x \cdot y > A) \vee (x > y) \vee(8 > x)$

тождественно истинно, то есть принимает значение $1$ при любых целых неотрицательных $x$ и $y$?

Обозначим через **ДЕЛ(n, m)** утверждение «натуральное число n делится без остатка на натуральное число m». Для какого наибольшего натурального числа А логическое выражение

$\neg ДЕЛ(x, А)\to (ДЕЛ(x, 12)\to \neg ДЕЛ(x, 14))$

тождественно истинно (т. е. принимает значение 1) при любом натуральном значении переменной х?

Обозначим через ДЕЛ(n, m) утверждение «натуральное число n делится без остатка на натуральное число m».

Для какого наименьшего натурального числа А формула

$(ДЕЛ(x, 2) \to \neg ДЕЛ(x, 3)) \vee (x + A \ge 100)$

тождественно истинна (т. е. принимает значение 1) при любом натуральном значении переменной х?

Обозначим через $m  \&  n$ поразрядную конъюнкцию неотрицательных целых чисел m и n. Так, например,

$14  \&  5 = 1110_{2}  \&  0101_{2} = 0100_{2} = 4$.

Для какого наименьшего неотрицательного целого числа А формула

$((x  \&  42 \neq 0) \wedge (x  \&  34 = 0)) \to \neg (x  \&  А = 0)$

тождественно истинна (т. е. принимает значение 1) при любом неотрицательном целом значении переменной х?

Для какого наименьшего целого неотрицательного числа А логическое выражение

$(x\ge 12) \vee (3x < y) \vee (xy <A)$

тождественно истинно (т.е. принимает значение 1) при любых целых неотрицательных x и y?

Элементами множеств $A$, $P$, $Q$ и $R$ являются натуральные числа, причём

$P = \{ 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20 \}$,
$Q = \{ 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30 \}$,
$R = \{ 12, 24, 36, 48, 60 \}$.

Известно, что выражение

$(x \notin A) \to (((x \in P) \land (x \in Q)) \to (x \in R))$

истинно (т. е. принимает значение 1) при любом значении переменной $x$.

Определите наименьшее возможное произведение элементов множества $A$.

Элементами множеств $A$, $P$ и $Q$ являются натуральные числа, причём

$P = \{ 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20 \}$ и $Q = \{ 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50 \}$.

Известно, что выражение

$((x \in A) \to (x \in P)) \land ((x \in Q) \to \lnot(x \in A))$

истинно (т. е. принимает значение 1) при любом значении переменной $x$.

Определите наибольшее возможное количество элементов множества $A$.

Элементами множеств $A$, $P$ и $Q$ являются натуральные числа, причём

$P = \{ 1, 3, 4, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21 \}$ и $Q = \{ 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30 \}$.

Известно, что выражение

$((x \in P) \to (x \in A)) \lor ((x \notin A) \to (x \notin Q))$

истинно (т. е. принимает значение 1) при любом значении переменной $x$.

Определите наименьшее возможное произведение элементов множества $A$.

Для какого наибольшего целого неотрицательного числа А выражение

$(2y + x \neq 70) \vee (x < y) \vee (A < x)$

тождественно истинно, то есть принимает значение 1 при любых целых неотрицательных x и y?

Для какого наименьшего натурального числа А формула

$\neg ((x + 5 < A) \to (y > A)) \lor (x \cdot y \ge 76)$

тождественно истинна (т.е. принимает значение 1) при любых натуральных значениях переменных х и y?

Определите минимальное натуральное значение А, при котором логическое выражение

$(x + 2y \neq 58) \vee ((A – x > 0) \equiv (A + y > 0))$

истинно при любых натуральных значениях x и y.

Введём выражение M & K, обозначающее поразрядную конъюнкцию M и K (логическое «И» между соответствующими битами двоичной записи).

Определите наименьшее натуральное число A, такое что выражение

$((x \& 17 \neq 0) \to ((x \& A \neq 0) \to (x \& 58 \neq 0))) \to ((x \& 8 = 0) \wedge (x \& A \neq 0) \wedge (x \& 58 = 0))$

тождественно ложно (то есть принимает значение 0 при любом натуральном значении переменной x).

Обозначим через m & n поразрядную конъюнкцию неотрицательных целых чисел m и n. Так, например,

$13 \& 7 = 1101_{2} \& 0111_{2} = 0101_{2} = 5$.

Для какого наименьшего неотрицательного целого числа B формула

$((x\&500 \neq 0)\wedge (x\&200=0))\to \neg (x\&B=0)$

тождественно истинна (т.е. принимает значение 1) при любом неотрицательном целом значении переменной х?

Для какого наименьшего целого неотрицательного числа $A$ выражение

$(x+2y<A) \vee (y>x)\vee (x>60)$

тождественно истинно, т.е. принимает значение 1 при любых целых неотрицательных $x$ и $y$.

Обозначим через ДЕЛ(n, m) утверждение «натуральное число n делится без остатка на натуральное число m»; и пусть на числовой прямой дан отрезок $B = [142; 252]$.

Для какого наименьшего натурального числа А формула

$(ДЕЛ(x, 6) \to \neg ДЕЛ(x, 15)) \vee \neg (x + A \in B)$

тождественно истинна (т. е. принимает значение 1) при любом натуральном значении переменной х?

Обозначим через ДЕЛ(n, m) утверждение «натуральное число n делится без остатка на натуральное число m». Для какого наибольшего натурального числа A формула

$((ДЕЛ(x, 36) \wedge ДЕЛ(x, 42)) \to ДЕЛ(x, A)) \wedge ( A\cdot (A - 25) < 25\cdot (A + 200))$

тождественно истинна (то есть принимает значение 1 при любом натуральном значении переменной х)?

Укажите наименьшее целое значение $A$, при котором выражение

$(x < 9) \to ((5y < x) \to (2xy < A))$

тождественно истинно при любых целых положительных $x$ и $y$.

Обозначим через ДЕЛ(n, m) утверждение «натуральное число _n_ делится без остатка на натуральное число _m_»; и пусть на числовой прямой дан отрезок _B_ = [160; 180].

Для какого количества различных натуральных значений числа _А_ формула

$(x \in B) \to (ДЕЛ(x, 35) \to ДЕЛ(x, A))$

тождественно истинна (т. е. принимает значение 1) при любом натуральном значении переменной _х_?

Для какого наименьшего целого значения параметра А выражение

$(x > 39) \vee (y > 26) \vee (2x + 4y < A)$

является тождественно истинным, то есть принимает значение 1 при любых целых положительных значениях переменных х и у?

Найдите минимальное целое значение параметра $А$, при котором выражение

$(3x + 4y\neq 101) \vee (x < A) \vee (3y \le A)$

истинно для любых целых положительных значений x и y.

Укажите наименьшее целое значение $А$, при котором выражение

$(2x + 3y \neq 150) \vee (x < A) \wedge (y < A)$

истинно для любых целых неотрицательных значений $x$ и $y$.

Обозначим через $ДЕЛ(n, m)$ утверждение «натуральное число $n$ делится без остатка на натуральное число $m$»; и пусть на числовой прямой дан отрезок $B = [70; 80]$.

Для какого количества различных натуральных значений числа $А$ формула

$ДЕЛ(x, 12) \wedge (x \in B) \wedge \neg ДЕЛ(x, A)$

тождественно ложна, то есть принимает значение $0$ при любом натуральном значении переменной $х$?

Обозначим ДЕЛ(x, d) утверждение «Натуральное число х делится без остатка на натуральное число d». Укажите максимальное число А, при котором выражение

$ДЕЛ(x, 10) \wedge ДЕЛ(x, 26) \wedge (x \ge 300) \to (A ≤ x)$

тождественно истинно.

Обозначим через ДЕЛ(n, m) утверждение «натуральное число _n_ делится без остатка на натуральное число _m_»; и пусть на числовой прямой дан отрезок _B_ = \[50; 70\].

Для какого наибольшего натурального числа _А_ формула

$ДЕЛ(x, A) \vee (ДЕЛ(x, 23) \to \neg (x \in B))$

тождественно истинна (т. е. принимает значение 1) при любом натуральном значении переменной _х_?

Обозначим через ДЕЛ(_n_,_ m_) утверждение «натуральное число _n_ делится без остатка на натуральное число _m_»; и пусть на числовой прямой дан отрезок _B_ = [70; 80].

Для какого наибольшего натурального числа _А_ формула

$ДЕЛ(x, A) \vee ((x \in B) \to \neg ДЕЛ(x, 18))$

тождественно истинна (т. е. принимает значение 1) при любом натуральном значении переменной _х_?

Укажите наименьшее целое значение $А$, при котором выражение

$(2x + 3y\neq 150) \vee (x < A) \vee (y < A)$

истинно для любых целых неотрицательных значений x и y.

Обозначим через **ДЕЛ(n, m)** утверждение «натуральное число n делится без остатка на натуральное число m».

Например, ДЕЛ(21, 3) = ИСТИНА, потому что 21 делится на 3 нацело. ДЕЛ(20, 7) = ЛОЖЬ, так как 20 не делится на 7 нацело.

Найдите минимальное значение А, для которого приведённое выражение истинно, то есть принимает значение 1 для любого неотрицательного целого значения х.

$\neg ДЕЛ(x, A) \vee \neg ДЕЛ(x, 5) \vee ДЕЛ(x, 35)$

Обозначим через ДЕЛ(n, m) утверждение «натуральное число n делится без остатка на натуральное число m». Для какого наибольшего натурального числа A формула

$((\neg ДЕЛ(x, A) \wedge ДЕЛ(x, 180)) \to ДЕЛ(x, 130)) \wedge ( A < 100)$

тождественно истинна (то есть принимает значение 1 при любом натуральном значении переменной х)?

Для какого наименьшего неотрицательного целого числа $А$ формула

$(x\ge 11)\vee (3\cdot x < y)∨(x\cdot y < A)$

тождественно истинна (т. е. принимает значение 1) при любых неотрицательных целых $x$ и $y$?

Обозначим через $m | n$ поразрядную дизъюнкцию неотрицательных целых чисел $m$ и $n$. Так, например,

$12 | 6 = 1100_{2} | 0110_{2} = 1110_{2} = 14$.

Для какого наименьшего неотрицательного целого числа А формула

$((x|42>64)\wedge (x∣34\le 102))\to \neg (x∣A<70)$

тождественно истинна (т.е. принимает значение 1) при любом неотрицательном целом значении переменной $х$?

Определите наибольшее натуральное число A, такое что выражение

$(x\&A \neq 0) \to ((x\&28 = 0) \to ((x\&53 \neq 0) \wedge (x\&20 = 0)))$

тождественно истинно (то есть принимает значение 1 при любом натуральном значении переменной X).

Элементами множеств $A$, $P$ и $Q$ являются целые числа, причём

$P = \{ 12, 23, 34, 45, 56 \}$ и $Q = \{ 23, 35, 56, 68, 89 \}$.

Известно, что выражение

$(x \in P) \lor (x \in Q) \lor (x \notin A)$

истинно (т. е. принимает значение 1) при любом значении переменной $x$.

Определите максимальное возможное количество целых чисел в множестве $A$.

Обозначим через $m\&n$ поразрядную конъюнкцию неотрицательных целых чисел m и n. Так, например,

$14\&5 = 1110_{2}\&0101_{2} = 0100_{2} = 4$.

Для какого наибольшего неотрицательного целого числа А формула

$(x\&А \neq 0) \to (( (x\&17=0) \land (x\&5=0)) \to (x\&3 \neq 0))$

тождественно истинна (т. е. принимает значение 1 при любом неотрицательном целом значении переменной х)?

На числовой прямой даны два промежутка: $P = [23; 45)$ и $Q = [34; 56]$. Укажите наибольшую возможную длину такого отрезка $A$, для которого логическое выражение

$(x \notin A) \lor ((x \notin P) \land (x \in Q))$

истинно (т. е. принимает значение $1$) при любом значении переменной $x$.

Обозначим через $m\&n$ поразрядную конъюнкцию неотрицательных целых чисел $m$ и $n$. Так, например,

$14\&5 = 1110_{2}\&0101_{2} = 0100_{2} = 4$.

Для какого наименьшего неотрицательного целого числа А формула

$(x\&29=0) \lor ((x\&11=0) \to \lnot (x\&А=0))$

истинна при всех целых значениях переменной $х \in [15; 30]$?

Найдите минимальное значение А, при котором выражение

$(x\&103 = 0) \wedge (x\&94 \neq 0) \to (x\&A \neq 0)$

тождественно истинно, то есть принимает значение 1 при любом натуральном значении х.

Для какого наименьшего целого неотрицательного числа А выражение

$(2x + y < A) \lor (y > 17) \lor (x > y)$

тождественно истинно (т. е. принимает значение 1) при любых целых неотрицательных x и y?

Обозначим как ДЕЛ(х, А) утверждение, что натуральное число х делится на А без остатка.

Для приведенного ниже выражения укажите минимальное натуральное А, при котором выражение будет истинно для любого натурального х.

$(ДЕЛ(x,30)\wedge \neg ДЕЛ(x,45))\to \neg ДЕЛ(x,A)$

На числовой прямой дан отрезок $P = [3; 17]$; $Q$ — множество всех натуральных делителей числа $78$, отличных от единицы и от самого числа $78$; $A$ — множество всех натуральных делителей некоторого натурального числа $y$, отличных от единицы и от самого числа $y$ (число $y$ таково, что множество $A$ непустое). Укажите наименьшее возможное значение числа $y$, для которого выражение

$((x \in Q) \to (x \in P)) \lor \lnot (x \in A)$

истинно (т. е. принимает значение 1) при любом значении переменной $x$.

На числовой прямой даны два отрезка: $P = [12; 62]$ и $Q = [52; 92]$. Рассмотрим отрезок $A = [10; X]$. Найдите наименьшее значение $X$, при котором логическое выражение

$\lnot((x \notin A) \land (x \in P)) \lor (x \in Q)$

истинно (т. е. принимает значение $1$) при любом значении переменной $x$.

Обозначим через $m | n$ поразрядную дизъюнкцию неотрицательных целых чисел $m$ и $n$. Так, например, $12 | 6 = 1100_2 | 0110_2 = 1110_2 = 14.$

Для какого наименьшего неотрицательного целого числа А формула

$((x | 42 \gt 64) \land (x | 34 \le 102)) \to \neg (x | А \lt 70)$

тождественно истинна (т. е. принимает значение 1) при любом неотрицательном целом значении переменной $х$?

Элементами множеств $A$, $P$ и $Q$ являются натуральные числа. Множество $P$ содержит только числа, кратные 5, а множество $Q$ — только числа, кратные 3.

Известно, что выражение

$(x \in Q) \to ((x \in P) \to ((x \in Q) \land (x \in A)))$

истинно (т. е. принимает значение 1) при любом натуральном значении переменной $x$.

Определите наибольшее возможное натуральное число, которому должны быть кратны элементы множества $A$.

На числовой прямой даны два отрезка: $P = [64; 95]$ и $Q = [72; 106]$. Укажите наименьшую возможную длину такого отрезка $A$, для которого логическое выражение

$((x \in Q) \land (x \notin A)) \to ((x \notin P) \to (x \notin Q))$

истинно (т. е. принимает значение $1$) при любом значении переменной $x$.

На числовой прямой даны два отрезка: $P = [1; 9999]$ и $Q = [3648; 6287]$. Укажите наименьшую возможную длину такого отрезка $A$, для которого логическое выражение

$((x \in P) \equiv (x \in Q)) \lor (x \in A) \lor (x > 4200)$

истинно (т. е. принимает значение $1$) при любом значении переменной $x$.

На числовой прямой даны два отрезка: $P = [74; 194]$ и $Q = [152; 223]$. Укажите наименьшую возможную длину такого отрезка $A$, для которого логическое выражение

$(\lnot(x \in A) \land (x \in P)) \to ((x \in P) \to \lnot(x \in Q))$

истинно (т. е. принимает значение $1$) при любом значении переменной $x$.

Операция $m\&n$ называется поразрядной конъюнкцией неотрицательных целых чисел m и n. Операция $m|n$ называется поразрядной дизъюнкцией неотрицательных целых чисел m и n. Например:

$35\&23 = 100011_{2} \&010111_{2} = 000011_{2} = 3$
$35|23 = 100011_{2}|010111_{2} = 110111_{2} = 55$

Для какого наименьшего натурального числа А формула

$\lnot ((x∣41=0) \lor (x\&128 \neq 0)) \land (x\&A=0) \land ((x∣A=0) \lor (x\&A=0))$

истинна при всех положительных целых двузначных значениях переменной х?

На числовой прямой даны два отрезка: $P = [101; 143]$ и $Q = [144; 199]$. Укажите наибольшую возможную длину такого отрезка $A$, для которого логическое выражение

$(x \in A) \to ((x \in P) \lor (x \in Q))$

истинно (т. е. принимает значение $1$) при любом значении переменной $x$.

Элементами множеств $A$, $P$ и $Q$ являются натуральные числа, причём

$P = \{ 12, 14, 19, 20, 25 \}$ и $Q = \{ 13, 18, 19, 20, 30 \}$.

Известно, что выражение

$\lnot((x \in P) \equiv (x \in A)) \to ((x \in Q) \equiv (x \in A))$

истинно (т. е. принимает значение 1) при любом значении переменной $x$.

Определите наибольшее возможное значение произведения элементов множества $A$.

На числовой прямой даны два отрезка: $P = [23; 37]$ и $Q = [41; 73]$. Укажите наименьшую возможную длину такого отрезка $A$, для которого логическое выражение

$\lnot((\lnot(x \in P) \to (x \in Q)) \to (x \in A))$

ложно (т. е. принимает значение $0$) при любом значении переменной $x$.

На числовой прямой даны два отрезка: $P = [13; 19]$ и $Q = [17; 23]$. Укажите наибольшую возможную длину такого отрезка $A$, для которого логическое выражение

$\lnot(\lnot(x \in P) \to (x \in Q)) \to ((x \in A) \to (\lnot(x \in Q) \to (x \in P)))$

истинно (т. е. принимает значение $1$) при любом значении переменной $x$.

Обозначим через ДЕЛ(n, m) утверждение «натуральное число n делится без остатка на натуральное число m». Для какого наименьшего натурального числа A формула

$((ДЕЛ(x, A) \wedge ДЕЛ(x, 45)) \to ДЕЛ(x, 162)) \wedge ( A > 200)$

тождественно истинна (то есть принимает значение 1 при любом натуральном значении переменной х)?

Обозначим через ДЕЛ(n, m) утверждение «натуральное число n делится без остатка на натуральное число m». Для какого наименьшего натурального числа A формула

$((ДЕЛ(x, A) \wedge ДЕЛ(x, 36)) \to ДЕЛ(x, 324)) \wedge ( A > 100)$

тождественно истинна (то есть принимает значение 1 при любом натуральном значении переменной х)?

Обозначим через ДЕЛ(n, m) утверждение «натуральное число n делится без остатка на натуральное число m». Для какого наименьшего натурального числа A формула

$((ДЕЛ(x, A) \wedge ДЕЛ(x, 375)) \to ДЕЛ(x, 100)) \wedge ( A > 10)$

тождественно истинна (то есть принимает значение 1 при любом натуральном значении переменной х)?

Обозначим через **ДЕЛ(n, m)** утверждение «натуральное число n делится без остатка на натуральное число m».

Например, ДЕЛ(21, 3) = ИСТИНА, потому что 21 делится на 3 нацело. ДЕЛ(20, 7) = ЛОЖЬ, так как 20 не делится на 7 нацело.

Найдите минимальное значение А, для которого приведённое выражение истинно, то есть принимает значение 1 для любого натурального значения х.

$\neg ДЕЛ(x,A) \vee \neg ДЕЛ(x,2205) \vee ДЕЛ(x,2800)$

Определите сколько всего существует натуральных чисел R таких, что выражение

$(((x \& 108 = 0) \vee (x \& 60 = 0)) \to (x \& A = 0)) \vee (x \& R = 0)$

тождественно истинно при любом натуральном A (то есть принимает значение 1 при любом натуральном значении переменной x и любом натуральном значении A).

На числовой прямой даны три отрезка: $P = [10; 27]$, $Q = [20; 40]$ и $R = [32; 50]$. Укажите наибольшую возможную длину такого отрезка $A$, для которого логическое выражение

$\lnot(x \in A) \lor ((x \in Q) \land ((x \in P) \lor (x \in R)))$

истинно (т. е. принимает значение $1$) при любом значении переменной $x$.

На числовой прямой даны два отрезка: $P = [3; 87]$ и $Q = [50; 72]$. Укажите наибольшую возможную длину такого отрезка $A$, для которого логическое выражение

$((x \in P) \land \lnot((x \in A) \equiv (x \in Q))) \lor \lnot((x \in Q) \lor (x \in A))$

истинно (т. е. принимает значение $1$) при любом значении переменной $x$.

Для какого наименьшего целого числа А формула

$(-(x - 2)^{2}+3<y) \lor ((x-1)^{2}+y^{2}<7) \lor (5x+A>y)$

тождественно истинна (т. е. принимает значение 1) при любых положительных x и y?

Элементами множеств $W$, $F$ и $M$ являются натуральные числа.

Новичок хоккейной команды выбирает номера для игровой формы в пределах от 1 до 99. Все числа меньше 22 или больше 70, а также 26 и 40 уже заняты. Самому игроку нравятся двузначные числа, сумма цифр которых больше 5. Если обозначить за $W$ все неподходящие числа, за $F$ — любимые числа, а за $M$ — те числа, которые готов предложить менеджмент команды, то выражение

$(n \notin W) \to ((n \notin F) \lor (n \in M))$

истинно (т. е. принимает значение 1) при любом значении переменной $n$.

Определите, сколько номеров может предложить игроку менеджмент команды.

Элементами множеств $A$, $P$, $Q$ и $R$ являются 8-битовые цепочки, причём

$P$ — множество всех 8-битовых цепочек с чётным количеством единиц,
$Q$ — множество всех 8-битовых цепочек, начинающихся на 10,
$R$ — множество всех 8-битовых цепочек, оканчивающихся на 101.

Известно, что выражение

$\lnot(x \in R) \to ((x \in P) \lor (\lnot(x \in A) \land (x \in Q)) \to ((x \in A) \lor (\lnot(x \in Q) \land (x \in P))))$

истинно при любой 8-битовой цепочке $x$.

Сколько элементов содержит минимальное множество $A$, при котором это условие выполняется?

"Элементами множеств $A$, $P$ и $Q$ являются натуральные числа, причём

$P = \{ 2, 5, 10, 15, 17, 20, 22, 25 \}$,
$Q = \{ 2, 4, 6, 8, 10, 12, 15, 16, 20, 25 \}$.

Известно, что выражение

$((x \in P) \equiv ((x \in A) \land (x \in Q))) \to ((x \in Q) \equiv ((x \in A) \land (x \in P)))$

тождественно истинно (т. е. принимает значение 1) при любом значении переменной $x$.

Определите наименьшую возможную сумму элементов множества $A$."

На числовой прямой дан отрезок B = [20; 47].

Пусть A – множество чисел a, для которых формула

$(x \& 45 \neq 0) \to ((x \& 21 = 0) \to (x \& a \neq 0))$

тождественно истинна при всех натуральных значениях переменной х.

Для какого наименьшего натурального числа $x$ формула

$(x ∈ A) \to (x ∈ B)$

ложна?

Обозначим через m XOR n поразрядное исключающее «или» неотрицательных целых чисел m и n. Так, например,

$14 XOR 5 = 1110_{2} XOR 0101_{2} = 1011_{2} = 11$.

Для какого наименьшего неотрицательного целого числа А формула

$(x XOR A≠2)∧¬((x XOR 9≠5)→(x XOR 27≠7))$

тождественно ложна (т. е. принимает значение 0 при любом неотрицательном целом значении переменной х)?

Элементами множеств $A$, $P$ и $Q$ являются натуральные числа, причём

$P = \{ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 \}$ и $Q = \{ 2, 4, 8, 10 \}$.

Известно, что выражение

$((x \in Q) \to (x \in A)) \land ((x \in A) \to (x \in P))$

истинно (т. е. принимает значение 1) при любом значении переменной $x$.

Определите количество возможных вариантов множества $A$.