📖 Как решаются такие задачи + разбор примера
План из 4 шагов: 1) сделать замену t = cos x; 2) решить обычное квадратное уравнение; 3) выбросить корни, которые не попадают в отрезок [−1; 1] — ведь косинус других значений не принимает; 4) вернуться к x.
D = (−3)² − 4·2·(−2) = 9 + 16 = 25, √D = 5.
t = (3 ± 5)/4, то есть t = 2 или t = −12.
t = 2 не подходит: cos x не бывает больше 1. Остаётся cos x = −12.
Ответ: x = ±2π3 + 2πk, k ∈ ℤ.
Табличные значения косинуса (пригодятся на последнем шаге):
| x | 0 | π/6 | π/4 | π/3 | π/2 | 2π/3 | 3π/4 | 5π/6 | π |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| cos x | 1 | √3/2 | √2/2 | 1/2 | 0 | −1/2 | −√2/2 | −√3/2 | −1 |
📖 Как решаются такие задачи + разбор примера
Главная идея. Сначала в первом, линейном, уравнении вырази одну переменную через другую. Подставь полученное выражение во второе уравнение — тогда логарифмическое уравнение останется только с одной переменной. После этого используй определение logb A = c ⇔ A = bc.
Подставляем во второе: log₂(10 − 2y + y) = 3, то есть log₂(10 − y) = 3.
По определению: 10 − y = 2³ = 8, поэтому y = 2. Тогда x = 10 − 2·2 = 6.
Проверка ОДЗ: под логарифмом x + y = 8 > 0 — всё честно.
Ответ: (6; 2).
Не забывай ОДЗ: выражение под логарифмом обязано быть положительным. Проверка занимает одну строчку, а на экзамене спасает баллы.
📖 Как решаются такие задачи + формулы
База: объём любой пирамиды V = 13·Sосн·h. Значит, весь план — найти площадь основания и высоту.
Полезные формулы. Равносторонний треугольник: S = √34a², радиус вписанной окружности r = a2√3. Прямоугольный треугольник с катетами a, b и гипотенузой c: S = ab2, r = a + b − c2.
Два ключевых факта. Двугранный угол при основании — это угол между боковой гранью и основанием, он «живёт» в треугольнике из высоты SO и отрезка OM ⊥ стороне. Если все грани наклонены к основанию под одним углом, вершина проецируется в центр вписанной окружности (а если равны боковые рёбра — в центр описанной).
S = √34·(12√3)² = 108√3. V = 13·108√3·6 = 216√3.