Яндекс ЕГЭ информатика 19-21

Две кучи камней task_series_id: 00d26fee-a992-4023-b097-7c8bb839b70a

Задание 19 (aede6f65-8987-4117-b631-6162dffee65e)

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежат две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в одну из куч (по своему выбору) **один** камень или увеличить количество камней в куче в **два раза**. Для того чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество камней. Игра завершается в тот момент, когда суммарное количество камней в кучах становится не менее 245. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, т. е. первым получивший такую позицию, при которой в кучах будет 245 или больше камней. В начальный момент в первой куче было 15 камней, во второй куче — S камней; 1 ≤ S ≤ 224. Будем говорить, что игрок имеет *выигрышную стратегию*, если он может выиграть при любых ходах противника. Известно, что Ваня выиграл своим первым ходом после неудачного первого хода Пети. Укажите **минимальное** значение S, когда такая ситуация возможна.

Задание 20 (ac7fd4d8-50e9-4b87-b592-2b311d1a57fa)

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежат две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в одну из куч (по своему выбору) один камень или увеличить количество камней в куче в **два раза**. Для того чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество камней. Игра завершается в тот момент, когда суммарное количество камней в кучах становится не менее 245. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, т. е. первым получивший такую позицию, при которой в кучах будет 245 или больше камней. В начальный момент в первой куче было 15 камней, во второй куче — S камней; 1 ≤ S ≤ 224. Будем говорить, что игрок имеет *выигрышную стратегию*, если он может выиграть при любых ходах противника. Найдите два **наименьших** значения S, при которых у Пети есть выигрышная стратегия, причём одновременно выполняются два условия: * Петя не может выиграть за один ход; * Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня. Найденные значения запишите в ответе в порядке возрастания.

Задание 21 (4c1f9c87-66f4-4773-8662-120e8bb2a496)

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежат две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в одну из куч (по своему выбору) **один** камень или увеличить количество камней в куче в **два раза**. Для того чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество камней. Игра завершается в тот момент, когда суммарное количество камней в кучах становится не менее 245. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, т. е. первым получивший такую позицию, при которой в кучах будет 245 или больше камней. В начальный момент в первой куче было 15 камней, во второй куче — S камней; 1 ≤ S ≤ 224. Будем говорить, что игрок имеет *выигрышную стратегию*, если он может выиграть при любых ходах противника. Найдите **минимальное** значение S, при котором одновременно выполняются два условия: * у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети; * у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом.

Связка 2

Две кучи камней task_series_id: 0aa4e646-0f5f-4c79-b96a-d034fce3a700

Задание 19 (5568409a-6ae1-4ccf-a5eb-a3c426cd0c36)

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может **добавить** в любую кучу **один камень** или **добавить** в любую кучу **столько камней, сколько их в данный момент в другой куче**. Игра завершается в тот момент, когда общее количество камней в двух кучах становится не менее 68. В начальный момент в первой куче было 8 камней, а во второй — S камней, $1~⩽~S~⩽~59$. Известно, что Ваня выиграл своим первым ходом после неудачного первого хода Пети. Назовите минимальное значение S, при котором это возможно.

Задание 20 (c4dd39a2-2ac5-45c8-9206-f77f630fa865)

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может **добавить** в любую кучу **один камень** или **добавить** в любую кучу **столько камней, сколько их в данный момент в другой куче**. Игра завершается в тот момент, когда общее количество камней в двух кучах становится не менее 68. В начальный момент в первой куче было 8 камней, а во второй — S камней, $1~⩽~S~⩽~59$. Найдите минимальное и максимальное значение S, при котором у Пети есть выигрышная стратегия, причём одновременно выполняются два условия: - Петя не может выиграть за один ход; - Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня. Найденные значения запишите в ответе в порядке возрастания.

Задание 21 (cd2c006a-1b29-4c8d-a61d-2ae06024585b)

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может **добавить** в любую кучу **один камень** или **добавить** в любую кучу **столько камней, сколько их в данный момент в другой куче**. Игра завершается в тот момент, когда общее количество камней в двух кучах становится не менее 68. В начальный момент в первой куче было 8 камней, а во второй — S камней, $1~⩽~S~⩽~59$. Найдите значение S, при котором одновременно выполняются два условия: - у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети; - у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом.

Связка 3

Две кучи камней task_series_id: 0d75d96d-3ee4-4702-8b40-12076a98edec

Задание 19 (9cd65dd8-3cb4-4903-b7e2-97c5dd063b45)

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежат две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в любую из куч **один** или **три** камня либо увеличить количество камней в куче в **два** раза. У каждого игрока есть неограниченное количество камней, чтобы делать ходы. Игра завершается в тот момент, когда количество камней в одной из куч становится не менее 479. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, т. е. первым получивший в одной из куч 479 камней или больше. В начальный момент в первой куче было 239 камней, во второй куче было S камней; 1 ≤ S ≤ 478. Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника. Укажите такое значение S, при котором Петя не может выиграть за один ход, но при любом ходе Пети Ваня может выиграть своим первым ходом.

Задание 20 (d3ec26d5-a3d0-4e96-8327-d327716db823)

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежат две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в любую из куч **один** или **три** камня либо увеличить количество камней в куче в **два** раза. У каждого игрока есть неограниченное количество камней, чтобы делать ходы. Игра завершается в тот момент, когда количество камней в одной из куч становится не менее 479. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, т. е. первым получивший в одной из куч 479 камней или больше. В начальный момент в первой куче было 239 камней, во второй куче было S камней; 1 ≤ S ≤ 478. Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника. Найдите два наименьших значения S, при которых у Пети есть выигрышная стратегия, причём одновременно выполняются два условия: * Петя не может выиграть за один ход; * Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня. Найденные значения запишите в ответе в порядке возрастания.

Задание 21 (a48c894d-ef2f-45a7-9314-72b9cbc548ae)

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежат две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в любую из куч **один** или **три** камня либо увеличить количество камней в куче в **два** раза. У каждого игрока есть неограниченное количество камней, чтобы делать ходы. Игра завершается в тот момент, когда количество камней в одной из куч становится не менее 479. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, т. е. первым получивший в одной из куч 479 камней или больше. В начальный момент в первой куче было 239 камней, во второй куче было S камней; 1 ≤ S ≤ 478. Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника. Найдите **минимальное** значение S, при котором одновременно выполняются два условия: * у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети; * у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом.

Связка 4

Две кучи камней task_series_id: 11f9028a-5286-4f48-89da-10177dde4a00

Задание 19 (e4e3213e-3eed-4e30-82c3-78ef32dee947)

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежат две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в одну из куч (по своему выбору) один камень или увеличить количество камней в куче в три раза. Для того чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество камней. Игра завершается в тот момент, когда суммарное количество камней в кучах становится не менее 65. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, т. е. первым получивший такую позицию, при которой в кучах оказывается 65 или больше камней. В начальный момент в первой куче было шесть камней, во второй куче — S камней; 1 ≤ S ≤ 58. Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника. Известно, что Ваня выиграл своим первым ходом после неудачного первого хода Пети. Укажите минимальное значение S, при котором такая ситуация возможна.

Задание 20 (dc9cd79c-41a3-4066-a2bb-96801b6addbd)

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежат две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в одну из куч (по своему выбору) один камень или увеличить количество камней в куче в три раза. Для того чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество камней. Игра завершается в тот момент, когда суммарное количество камней в кучах становится не менее 65. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, т. е. первым получивший такую позицию, при которой в кучах оказывается 65 или больше камней. В начальный момент в первой куче было шесть камней, во второй куче — S камней; 1 ≤ S ≤ 58. Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника. Найдите два наименьших значения S, при которых у Пети есть выигрышная стратегия, причём одновременно выполняются два условия: * Петя не может выиграть за один ход; * Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня. Найденные значения запишите в ответе в порядке возрастания.

Задание 21 (1322d439-66af-4295-81f8-bf2801cbdcf6)

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежат две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в одну из куч (по своему выбору) один камень или увеличить количество камней в куче в три раза. Для того чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество камней. Игра завершается в тот момент, когда суммарное количество камней в кучах становится не менее 65. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, т. е. первым получивший такую позицию, при которой в кучах оказывается 65 или больше камней. В начальный момент в первой куче было шесть камней, во второй куче — S камней; 1 ≤ S ≤ 58. Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника. Найдите минимальное значение S, при котором одновременно выполняются два условия: * у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети; * у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом. Если найдено несколько значений S, в ответе укажите наименьшее из них.

Связка 5

Две кучи камней task_series_id: 1313145a-1cfc-49d5-b961-9caea37d72a1

Задание 19 (96f7f6c6-7bee-4bc9-ad70-28ec1db15d0d)

Два игрока, Петя и Ваня, решили поиграть. Перед ними лежат две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в одну из куч (по своему выбору) четыре камня или увеличить количество камней в куче в три раза. Например, пусть в одной куче 10 камней, а в другой 5 камней; такую позицию в игре будем обозначать (10, 5). Тогда за один ход можно получить любую из четырёх позиций: (14, 5), (30, 5), (10, 9), (10, 15). Для того чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество камней. Игра завершается в тот момент, когда суммарное количество камней в двух кучах становится не менее 181. Победителем считается игрок, который сделал последний ход, т. е. первым получил такую позицию, при которой суммарное количество камней в двух кучах будет равно 181 или более. В начальный момент в первой куче было 25 камней, во второй куче — S камней; 1 ≤ S ≤ 155. Будем говорить, что у игрока выигрышная стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника. Укажите минимальное значение S, при котором Петя не может выиграть за один ход, но при любом ходе Пети Ваня может выиграть своим первым ходом.

Задание 20 (4c6a453f-1d21-419b-bab1-3333a3799ecb)

Два игрока, Петя и Ваня, решили поиграть. Перед ними лежат две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в одну из куч (по своему выбору) четыре камня или увеличить количество камней в куче в три раза. Например, пусть в одной куче 10 камней, а в другой 5 камней; такую позицию в игре будем обозначать (10, 5). Тогда за один ход можно получить любую из четырёх позиций: (14, 5), (30, 5), (10, 9), (10, 15). Для того чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество камней. Игра завершается в тот момент, когда суммарное количество камней в двух кучах становится не менее 181. Победителем считается игрок, который сделал последний ход, т. е. первым получил такую позицию, при которой суммарное количество камней в двух кучах будет 181 или более. В начальный момент в первой куче было 25 камней, во второй куче — S камней; 1 ≤ S ≤ 155. Будем говорить, что у игрока выигрышная стратегия, если он может выиграть при любых ходах противника. Найдите минимальное и максимальное значение S, при котором у Пети есть выигрышная стратегия, причём одновременно выполняются два условия: - Петя не может выиграть за один ход - Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня Найденные значения запишите в ответе в порядке возрастания.

Задание 21 (3bbb2029-4f71-4f07-a0b1-55723db66485)

Два игрока, Петя и Ваня, решили поиграть. Перед ними лежат две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в одну из куч (по своему выбору) четыре камня или увеличить количество камней в куче в три раза. Например, пусть в одной куче 10 камней, а в другой 5 камней; такую позицию в игре будем обозначать (10, 5). Тогда за один ход можно получить любую из четырёх позиций: (14, 5), (30, 5), (10, 9), (10, 15). Для того чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество камней. Игра завершается в тот момент, когда суммарное количество камней в двух кучах становится не менее 181. Победителем считается игрок, который сделал последний ход, т. е. первым получил такую позицию, при которой суммарное количество камней в двух кучах будет 181 или более. В начальный момент в первой куче было 25 камней, во второй куче — S камней; 1 ≤ S ≤ 155. Будем говорить, что у игрока выигрышная стратегия, если он может выиграть при любых ходах противника. Найдите значение S, при котором одновременно выполняются два условия: - у Вани есть выигрышная стратегия, с которой он может выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети - у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом Если найдено несколько значений S, в ответе запишите наименьшее из них.

Связка 6

Две кучи камней task_series_id: 148cf033-acdf-486d-ab5c-d91a61923501

Задание 19 (04a951bf-d429-45bf-ae09-5321c1ac8e73)

Задание 20 (86cf75fa-bb1e-4967-b6b6-beccf119211c)

Петя и Ваня устали перекладывать камни и собрали игровой автомат. На электронном табло отображаются два числа. Под ним четыре кнопки, которые выполняют такие команды: 1. Прибавить к числу слева 2 2. Прибавить к числу справа 2 3. Заменить число слева на сумму текущих чисел 4. Заменить число справа на сумму текущих чисел За один ход можно нажать одну кнопку. Игроки ходят по очереди. Первым жмёт на кнопку Петя, потом — Ваня. Игра заканчивается, когда сумма чисел на табло больше или равна 180. Победителем считается игрок, первым получивший такую сумму. Будем говорить, что у игрока выигрышная стратегия, если он может выиграть при любых ходах противника. В начальный момент на электронном табло отображаются числа (18, S); 1 ≤ S ≤ 161. Определите **минимальное** значение числа справа, а также общее **количество** возможных значений этого числа, при которых у Пети есть выигрышная стратегия, причём одновременно выполняются два условия: - Петя не может выиграть за один ход - Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня

Задание 21 (35e457ca-93a2-4f56-92ba-17755c68463a)

Петя и Ваня устали перекладывать камни и собрали игровой автомат. На электронном табло отображаются два числа. Под ним четыре кнопки, которые выполняют такие команды: 1. Прибавить к числу слева 2 2. Прибавить к числу справа 2 3. Заменить число слева на сумму текущих чисел 4. Заменить число справа на сумму текущих чисел За один ход можно нажать одну кнопку. Игроки ходят по очереди. Первым жмёт на кнопку Петя, потом — Ваня. Игра заканчивается, когда сумма чисел на табло больше или равна 180. Победителем считается игрок, первым получивший такую сумму. Будем говорить, что у игрока выигрышная стратегия, если он может выиграть при любых ходах противника. В начальный момент на электронном табло отображаются числа (18, S); 1 ≤ S ≤ 161. Найдите **максимальное** значение числа справа, при котором одновременно выполняются два условия: - у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети - у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом

Связка 7

Две кучи камней task_series_id: 186e9697-3ed3-4c04-9242-acc9a5a9941a

Задание 19 (f7503f84-63a9-47a6-b931-2420be6a9039)

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежат две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может убрать из кучи 2 камня или убрать ровно половину камней из кучи (в случае нечетного количества результат целочисленного деления количества камней в куче на 2 + 1, то есть с округлением в большую сторону). Игра завершается в тот момент, когда суммарное количество камней в двух кучах становится менее 6. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, т. е. первым получивший такую позицию, при которой суммарное количество камней в двух кучах будет 5 или меньше. В начальный момент в первой куче было 4 камня, во второй куче — *S* камней; *2 ≤ S ≤ 50*. Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника. Найдите максимальное *S*, при котором Петя выигрывает своим первым ходом.

Задание 20 (15876066-d4ab-4ac1-85e0-f4f114fef041)

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежат две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может убрать из кучи 2 камня или убрать ровно половину камней из кучи (в случае нечетного количества результат целочисленного деления количества камней в куче на 2 + 1, то есть с округлением в большую сторону). Игра завершается в тот момент, когда суммарное количество камней в двух кучах становится менее 6. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, т. е. первым получивший такую позицию, при которой суммарное количество камней в двух кучах будет 5 или меньше. В начальный момент в первой куче было 4 камня, во второй куче — *S* камней; *2 ≤ S ≤ 50*. Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника. Найдите максимальное значение *S*, при котором Ваня выигрывает своим первым ходом после неудачного хода Пети.

Задание 21 (55d16522-4924-41cf-9ee6-2e3d0873785d)

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежат две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может убрать из кучи 2 камня или убрать ровно половину камней из кучи (в случае нечетного количества результат целочисленного деления количества камней в куче на 2 + 1, то есть с округлением в большую сторону). Игра завершается в тот момент, когда суммарное количество камней в двух кучах становится менее 6. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, т. е. первым получивший такую позицию, при которой суммарное количество камней в двух кучах будет 5 или меньше. В начальный момент в первой куче было 4 камня, во второй куче — *S* камней; *2 ≤ S ≤ 50*. Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника. Найдите наибольшее значение *S*, при котором у Пети есть выигрышная стратегия, причём одновременно выполняются два условия: * Петя не может выиграть за один ход; * Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня.

Связка 8

Две кучи камней task_series_id: 1cc569a5-d5d0-4fb3-b7c5-41d76df1bfe2

Задание 19 (3a878022-041f-4d60-88c9-b8e247c08443)

Алиса и Боб участвуют в игре с двумя кучами монет. Игра начинается с хода Алисы, и игроки ходят поочередно. В каждом ходе игрок имеет право добавить одну или две монеты в меньшую кучу. Количество монет в большей куче остается неизменным. Игра продолжается до тех пор, пока количество монет в обеих кучах не сравняется, и побеждает тот, кто делает последний ход. Оба игрока принимают только оптимальные решения. Изначально в первой куче находится $15$ монет, а во второй — $S$ монет, где $1 \leq S \leq 30; S \neq 15$. Необходимо определить максимальное значение $S$, при котором Алиса не может обеспечить себе победу за один ход, однако при любом её ходе Боб способен выиграть уже своим первым ходом.

Задание 20 (19bcb603-73a1-4955-ae54-8c70032524ce)

Алиса и Боб участвуют в игре с двумя кучами монет. Игра начинается с хода Алисы, и игроки ходят поочерёдно. В каждом ходе игрок имеет право добавить одну или две монеты в меньшую кучу. Количество монет в большей куче остается неизменным. Игра продолжается до тех пор, пока количество монет в обеих кучах не сравняется, и побеждает тот, кто делает последний ход. Оба игрока принимают только оптимальные решения. Изначально в первой куче находится $15$ монет, а во второй — $S$ монет, где $1 \leq S \leq 30; S \neq 15$. Определите два минимальных значения S, при которых Алисе доступна стратегия для выигрыша, удовлетворяя следующим критериям: - Алиса не имеет возможности выиграть за один ход; - Независимо от стратегии Боба, Алиса способна обеспечить себе победу на втором ходу. Укажите обнаруженные значения в порядке возрастания.

Задание 21 (fb725dd1-32e8-46a8-b6f6-03c4cf014944)

Алиса и Боб участвуют в игре с двумя кучами монет. Игра начинается с хода Алисы, и игроки ходят поочередно. В каждом ходе игрок имеет право добавить одну или две монеты в меньшую кучу. Количество монет в большей куче остается неизменным. Игра продолжается до тех пор, пока количество монет в обеих кучах не сравняется, и побеждает тот, кто делает последний ход. Оба игрока принимают только оптимальные решения. Изначально в первой куче находится $15$ монет, а во второй — $S$ монет, где $1 \leq S \leq 30; S \neq 15$. Определите два таких значения $S$, для которых соблюдаются следующие критерии: - Боб обладает стратегией, позволяющей ему победить на первом или втором ходу, независимо от действий Алисы; - Боб не имеет стратегии, гарантирующей ему победу сразу на первом ходу. Укажите обнаруженные значения в порядке возрастания.

Связка 9

Две кучи камней task_series_id: 27aaf0ad-f75b-4388-b483-11d2241ab875

Задание 19 (ca228a2c-02aa-4d3f-9aa9-5853eba8efe0)

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежат две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может: * добавить в одну из куч (по своему выбору) 4 камня * увеличить количество камней в одной из куч (по своему выбору) в 3 раза *Например*, пусть в одной куче 20 камней, а в другой 30 камней; такую позицию в игре обозначим (20, 30). Тогда за один ход можно получить любую из четырёх позиций: (24, 30), (20, 34), (60, 30), (20, 90). Для того чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество камней. Игра завершается в тот момент, когда суммарное количество камней в двух кучах становится не менее 154. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший такую игровую позицию, при которой в двух кучах суммарно 154 камня или больше. В начальный момент в первой куче 11 камней, во второй куче — $S$ камней; 1 ≤ $S$ ≤ 142. Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника. Известно, что Ваня выиграл своим первым ходом после неудачного хода Пети. Укажите минимальное значение S, при котором такая ситуация возможна.

Задание 20 (03b2d296-1898-4809-83dd-d0896c2302ae)

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежат две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может: * добавить в одну из куч (по своему выбору) 4 камня * увеличить количество камней в одной из куч (по своему выбору) в 3 раза *Например*, пусть в одной куче 20 камней, а в другой 30 камней; такую позицию в игре обозначим (20, 30). Тогда за один ход можно получить любую из четырёх позиций: (24, 30), (20, 34), (60, 30), (20, 90). Для того чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество камней. Игра завершается в тот момент, когда суммарное количество камней в двух кучах становится не менее 154. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший такую игровую позицию, при которой в двух кучах суммарно 154 камня или больше. В начальный момент в первой куче 11 камней, во второй куче — $S$ камней; 1 ≤ $S$ ≤ 142. Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника. Найдите два наименьших значения $S$, при которых у Пети есть выигрышная стратегия, причём одновременно выполняются два условия: * Петя не может выиграть за один ход * Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня Найденные значения запишите в ответе в порядке возрастания.

Задание 21 (bd9d1698-d751-4a29-a663-4295a462ad0e)

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежат две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может: * добавить в одну из куч (по своему выбору) 4 камня * увеличить количество камней в одной из куч (по своему выбору) в 3 раза *Например*, пусть в одной куче 20 камней, а в другой 30 камней; такую позицию в игре обозначим (20, 30). Тогда за один ход можно получить любую из четырёх позиций: (24, 30), (20, 34), (60, 30), (20, 90). Для того чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество камней. Игра завершается в тот момент, когда суммарное количество камней в двух кучах становится не менее 154. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший такую игровую позицию, при которой в двух кучах суммарно 154 камня или больше. В начальный момент в первой куче 11 камней, во второй куче — $S$ камней; 1 ≤ $S$ ≤ 142. Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника. Найдите наименьшее значение $S$, при котором одновременно выполняются два условия: * у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети * у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом

Связка 10

Две кучи камней task_series_id: 298b33b9-01a3-4002-b768-297199dfc162

Задание 19 (9cf4a3bb-fdc6-45e5-9f9d-c83576e44b7d)

Задание 20 (0176faba-3c4f-4c16-b751-f98f600e2389)

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в любую кучу один камень или увеличить количество камней в любой куче в два раза. Игра завершается в тот момент, когда сумма камней в кучах становится не менее 30. В начальный момент в первой куче было K камней, а во второй — S камней, 1 ≤ K ≤ 29, 1 ≤ S ≤ 29. При K=6, найдите минимальное и максимальное значение S, при котором у Пети есть выигрышная стратегия, причём одновременно выполняются два условия: * Петя не может выиграть за один ход; * Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня. Найденные значения запишите в ответе в порядке возрастания.

Задание 21 (8fdf76a3-b08b-48d7-8ce6-d1a564af7313)

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в любую кучу один камень или увеличить количество камней в любой куче в два раза. Игра завершается в тот момент, когда сумма камней в кучах становится не менее 30. В начальный момент в первой куче было K камней, а во второй — S камней, 1 ≤ K ≤ 29, 1 ≤ S ≤ 29. Сколько существует пар (S;K), при котором одновременно выполняются два условия: * у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети; * у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом.

Связка 11

Две кучи камней task_series_id: 2d8de990-9caa-4e1d-a3bb-401a2e01b0f2

Задание 19 (30ad9ef1-902d-4718-bb97-4bbc82ae7f24)

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежат две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может убрать из одной из куч один камень или уменьшить количество камней в куче в два раза (если количество камней в куче нечетно, остается на 1 камень **меньше**, чем убирается). Например, пусть в одной куче 6, а в другой 9 камней; такую позицию мы будем обозначать (6, 9). За один ход из позиции (6, 9) можно получить любую из четырёх позиций: (5, 9), (3, 9), (6, 8), (6, 4). Игра завершается в тот момент, когда суммарное количество камней в кучах становится не более 32. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший позицию, в которой в кучах будет 32 или меньше камней. В начальный момент в первой куче было 10 камней, во второй куче — S камней, S > 22. Найдите значение S, при котором Ваня выигрывает своим первым ходом при любой игре Пети.

Задание 20 (2088b6b9-d07b-4acb-89dd-87618bb85995)

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежат две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может убрать из одной из куч один камень или уменьшить количество камней в куче в два раза (если количество камней в куче нечетно, остается на 1 камень **меньше**, чем убирается). Например, пусть в одной куче 6, а в другой 9 камней; такую позицию мы будем обозначать (6, 9). За один ход из позиции (6, 9) можно получить любую из четырёх позиций: (5, 9), (3, 9), (6, 8), (6, 4). Игра завершается в тот момент, когда суммарное количество камней в кучах становится не более 32. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший позицию, в которой в кучах будет 32 или меньше камней. В начальный момент в первой куче было 10 камней, во второй куче – S камней, S > 22. Найдите минимальное и максимальное значение S, при котором у Пети есть выигрышная стратегия, причём одновременно выполняются два условия: - Петя не может выиграть за один ход; - Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня. Найденные значения запишите в ответе в порядке возрастания.

Задание 21 (21a792bc-cd6b-42a2-a0b4-90fc229a2a23)

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежат две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может убрать из одной из куч один камень или уменьшить количество камней в куче в два раза (если количество камней в куче нечетно, остается на 1 камень **меньше**, чем убирается). Например, пусть в одной куче 6, а в другой 9 камней; такую позицию мы будем обозначать (6, 9). За один ход из позиции (6, 9) можно получить любую из четырёх позиций: (5, 9), (3, 9), (6, 8), (6, 4). Игра завершается в тот момент, когда суммарное количество камней в кучах становится не более 32. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший позицию, в которой в кучах будет 32 или меньше камней. В начальный момент в первой куче было 10 камней, во второй куче – S камней, S > 22. Найдите значение S, при котором одновременно выполняются два условия: - у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети; - у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом.

Связка 12

Две кучи камней task_series_id: 318021a8-25cb-4a9e-aa3f-e18bbd30e276

Задание 19 (a39ac6d6-c962-4d3d-bb42-6f51d30514c3)

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежат две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может убрать из одной из куч два камня или уменьшить количество камней в куче в два раза (если количество камней в куче нечётно, остаётся на 1 камень **больше**, чем убирается). Например, пусть в одной куче 8, а в другой 11 камней; такую позицию мы будем обозначать (8, 11). За один ход из позиции (8, 11) можно получить любую из четырёх позиций: (6, 11), (4, 11), (8, 9), (8, 6). Игра завершается в тот момент, когда суммарное количество камней в кучах становится не более 46. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший позицию, в которой в кучах будет 46 или меньше камней. В начальный момент в первой куче было 20 камней, во второй куче — S камней, S > 26. Известно, что Ваня выиграл своим первым ходом после неудачного первого хода Пети. Укажите максимальное значение S, когда такая ситуация возможна.

Задание 20 (74f141d2-1f62-4710-a310-29685c032a64)

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежат две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может убрать из одной из куч два камня или уменьшить количество камней в куче в два раза (если количество камней в куче нечётно, остаётся на 1 камень **больше**, чем убирается). Например, пусть в одной куче 8, а в другой 11 камней; такую позицию мы будем обозначать (8, 11). За один ход из позиции (8, 11) можно получить любую из четырёх позиций: (6, 11), (4, 11), (8, 9), (8, 6). Игра завершается в тот момент, когда суммарное количество камней в кучах становится не более 46. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший позицию, в которой в кучах будет 46 или меньше камней. В начальный момент в первой куче было 20 камней, во второй куче — S камней, S > 26. Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника. Найдите **минимальное** и **максимальное** значение S, при которых у Пети есть выигрышная стратегия, причём одновременно выполняются два условия: - Петя не может выиграть за один ход; - Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня. Найденные значения запишите в ответе в порядке возрастания.

Задание 21 (f81ad0be-580a-412e-8533-34f770b5d7f5)

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежат две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может убрать из одной из куч два камня или уменьшить количество камней в куче в два раза (если количество камней в куче нечётно, остаётся на 1 камень **больше**, чем убирается). Например, пусть в одной куче 8, а в другой 11 камней; такую позицию мы будем обозначать (8, 11). За один ход из позиции (8, 11) можно получить любую из четырёх позиций: (6, 11), (4, 11), (8, 9), (8, 6). Игра завершается в тот момент, когда суммарное количество камней в кучах становится не более 46. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший позицию, в которой в кучах будет 46 или меньше камней. В начальный момент в первой куче было 20 камней, во второй куче — S камней, S > 26. Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника. Найдите **максимальное** значение S, при котором одновременно выполняются два условия: - у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети; - у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом.

Связка 13

Две кучи камней task_series_id: 3f15802a-3f21-47cb-82f2-833618a599b9

Задание 19 (95fb8a1e-fcbe-483e-9933-5a5262675e76)

Задание 20 (13282321-cbb9-4e69-9897-3f09c5edeb6b)

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежат две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в одну из куч (по своему выбору) 10 камней или увеличить количество камней в куче в два раза. Например, пусть в одной куче 10 камней, а в другой 5 камней, такую позицию в игре будем обозначать (10, 5). Тогда за один ход можно получить любую из четырёх позиций: (20, 5), (10, 15), (20, 5), (10, 10). Для того чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество камней. Игра завершается в тот момент, когда суммарное количество камней в кучах становится не менее 107. Если при этом суммарное количество камней в двух кучах не превышает 170, победителем считается игрок, совершивший последний ход, иначе его противник. В начальный момент в первой куче было 5 камней, во второй куче — S камней, 1 ≤ S ≤ 100. Будем говорить, что игрок имеет *выигрышную стратегию*, если он может выиграть при любых ходах противника. Известно, что Петя имеет *выигрышную стратегию*. Укажите два минимальных значения S: 1. при котором Петя гарантированно побеждает своим вторым ходом, либо Ваня проигрывает уже после своего первого хода 2. при котором Петя имеет выигрышную стратегию своим вторым ходом при любой игре Вани В качестве ответа укажите сначала значение для п. 1, затем для п. 2.

Задание 21 (0f66b242-6aa8-41fd-a7cf-bdf5c6b31a0b)

Связка 14

Две кучи камней task_series_id: 3f897fdf-78c7-4b2d-b93e-6f6dca28276a

Задание 19 (ab5f2d6b-ea54-4e4d-94d3-180ce071b97a)

Алиса и Боб играют в игру с двумя кучами монет. Алиса ходит первой. За один ход игрок может либо добавить одну монету в одну из куч (по своему выбору), либо умножить количество монет в одной из куч на два. Игра завершается, когда суммарное количество монет в кучах становится не менее 122. В начальный момент в первой куче 22 монеты, во второй куче — $S$ монет $1\le S\le 99$. Известно что Боб выиграл своим первым ходом, после неудачного хода Алисы. Найдите минимальное значение $S$ при котором это возможно.

Задание 20 (fe3a6c7f-53a0-4484-bb01-1572df027348)

Алиса и Боб играют в игру с двумя кучами монет. Алиса ходит первой. За один ход игрок может либо добавить одну монету в одну из куч (по своему выбору), либо умножить количество монет в одной из куч на два .Игра завершается, когда суммарное количество монет в кучах становится не менее 122. В начальный момент в первой куче 22 монеты, во второй куче — $S$ монет $1\le S\le 99$. Найдите минимальное значение $S$, при котором у Алисы есть выигрышная стратегия, причём одновременно выполняются два условия: - Алиса не может выиграть за один ход; - Алиса может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Боб.

Задание 21 (a28a3094-9055-44da-b2ca-dc37246c4faa)

Алиса и Боб играют в игру с двумя кучами монет. Алиса ходит первой. За один ход игрок может либо добавить одну монету в одну из куч (по своему выбору), либо умножить количество монет в одной из куч на два. Игра завершается, когда суммарное количество монет в кучах становится не менее 122. В начальный момент в первой куче 22 монеты, во второй куче — $S$ монет $1\le S\le 99$. Найдите значение S, при котором одновременно выполняются два условия: - у Боба есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Алисы; - у Боба нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом.

Связка 15

Две кучи камней task_series_id: 44fc717e-57f0-4b7f-8554-54d50d371d19

Задание 19 (9c2a06d3-1dcd-44d2-85b5-0b4c038efed5)

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в одну из куч один камень либо увеличить количество камней в куче в два раза. Для того чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество камней. Игра завершается в тот момент, когда суммарное количество камней в кучах становится не менее 123. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, т. е. первым получивший суммарно в кучах 123 или больше камней. В начальный момент в первой куче было 13 камней, во второй — S камней; 1 ≤ S ≤ 109. Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника. Известно, что Ваня выиграл своим первым ходом после неудачного хода Пети. Укажите минимальное значение S, когда такая ситуация возможна.

Задание 20 (a8f4e3ee-1369-4618-8aed-bbe57ff0ae7f)

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в одну из куч один камень либо увеличить количество камней в куче в два раза. Для того чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество камней. Игра завершается в тот момент, когда суммарное количество камней в кучах становится не менее 123. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, т. е. первым получивший суммарно в кучах 123 или больше камней. В начальный момент в первой куче было 13 камней, во второй — S камней; 1 ≤ S ≤ 109. Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника. Найдите два таких минимальных значения S, при которых у Пети есть выигрышная стратегия, причём одновременно выполняются два условия: * Петя не может выиграть за один ход; * Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня. Найденные значения запишите в ответе в порядке возрастания.

Задание 21 (5082e2cd-19e8-40bb-86ea-f3bc7358996d)

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в одну из куч один камень либо увеличить количество камней в куче в два раза. Для того чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество камней. Игра завершается в тот момент, когда суммарное количество камней в кучах становится не менее 123. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, т. е. первым получивший суммарно в кучах 123 или больше камней. В начальный момент в первой куче было 13 камней, во второй — S камней; 1 ≤ S ≤ 109. Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника. Найдите минимальное значение S, при котором одновременно выполняются два условия: * у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети; * у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом. Если найдено несколько значений S, в ответе запишите наименьшее из них.

Связка 16

Две кучи камней task_series_id: 5c882e06-e427-440f-8f53-029200951023

Задание 19 (bf1c4526-9b33-4304-b6ca-ece15fd9b1d2)

Задание 20 (963d6113-b86c-407b-8f38-2ef2c157458a)

Задание 21 (96b5865d-755d-43ed-a94e-bf9f25b25029)

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежат две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в одну из куч (по своему выбору) два камня, или увеличить количество камней в куче в два раза. Например, пусть в одной куче 10 камней, а в другой 5 камней; такую позицию в игре будем обозначать (10, 5). Тогда за один ход можно получить любую из четырёх позиций: (12, 5), (20, 5), (10, 7), (10, 10). Для того чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество камней. Игра завершается в тот момент, когда суммарное количество камней в двух кучах становится не менее 35. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, т. е. первым получивший такую позицию, при которой суммарное количество камней в двух кучах будет 35 или более. В начальный момент в первой куче было 6 камней, во второй куче — *S* камней; *1 ≤ S ≤ 28*. Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника. Найдите наименьшее значение *S*, при котором у Пети есть выигрышная стратегия, причём одновременно выполняются два условия: * Петя не может выиграть за один ход; * Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня.

Связка 17

Две кучи камней task_series_id: 5e21d2a1-7fd3-4697-8a86-a22596fc083b

Задание 19 (bd1b425c-38c0-4ce3-8071-aa0242c9d678)

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками находятся числовая ось. Игроки передвигают две фишки по целочисленным координатам числовой оси. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может сдвинуть одну из фишек (по своему выбору), увеличив ее координату либо на один, либо в два раза. Игра завершается в тот момент, когда сумма координат двух фишек становится не менее 81. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, т. е. первым получивший выигрышную позицию. В начальный момент первая фишка была на координате 7, а вторая — на S; 1 $\leq$ S $\leq$ 73. Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника. Известно, что Ваня выиграл своим первым ходом после неудачного первого хода Пети. Укажите минимальное значение S, когда такая ситуация возможна.

Задание 20 (85bba27e-1275-4b00-9618-a796339bfdac)

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками находятся числовая ось. Игроки передвигают две фишки по целочисленным координатам числовой оси. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может сдвинуть одну из фишек (по своему выбору), увеличив ее координату либо на один, либо в два раза. Игра завершается в тот момент, когда сумма координат двух фишек становится не менее 81. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, т. е. первым получивший выигрышную позицию. В начальный момент первая фишка была на координате 7, а вторая — на S; 1 $\leq$ S $\leq$ 73. Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника. Найдите два наименьших значения S, при которых у Пети есть выигрышная стратегия, причём одновременно выполняются два условия: * Петя не может выиграть за один ход * Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня Найденные значения запишите в ответе в порядке возрастания.

Задание 21 (252a8877-8c85-44b0-8f07-64fd287a7de1)

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками находятся числовая ось. Игроки передвигают две фишки по целочисленным координатам числовой оси. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может сдвинуть одну из фишек (по своему выбору), увеличив ее координату либо на один, либо в два раза. Игра завершается в тот момент, когда сумма координат двух фишек становится не менее 81. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, т. е. первым получивший выигрышную позицию. В начальный момент первая фишка была на координате 7, а вторая — на S; 1 $\leq$ S $\leq$ 73. Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника. Найдите значение S, при котором одновременно выполняются два условия: * у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети * у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом Если найдено несколько значений S, в ответе запишите сумму всех.

Связка 18

Две кучи камней task_series_id: 63154798-fc53-43a8-a240-880fe970f579

Задание 19 (b674dfff-c807-466b-8daf-85acb7a41b66)

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежат две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить **в меньшую** кучу один или три камня. Изменять количество камней в большей куче не разрешается. Игра завершается, когда количество камней в кучах становится равным. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым сравнявшим количество камней в двух кучах. Игроки играют рационально, т. е. без ошибок. В начальный момент в первой куче было 13 камней, а во второй — S камней, $1~⩽~S~⩽~23$. Укажите такое **минимальное** значение S, при котором Петя не может выиграть за один ход, но при любом ходе Пети Ваня может выиграть своим первым ходом.

Задание 20 (c34ce6ef-91d7-4746-b423-f2178706e95d)

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежат две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить **в меньшую** кучу один или три камня. Изменять количество камней в большей куче не разрешается. Игра завершается, когда количество камней в кучах становится равным. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым сравнявшим количество камней в двух кучах. Игроки играют рационально, т. е. без ошибок. В начальный момент в первой куче было 13 камней, а во второй — S камней, $1 ⩽ S ⩽ 23$. Найдите **два наименьших** значения S, при которых у Пети есть выигрышная стратегия, причём одновременно выполняются два условия: - Петя не может выиграть за один ход; - Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня. Найденные значения запишите в ответ в порядке возрастания.

Задание 21 (4c91e2d8-bb64-4846-90c2-435a7d0a022d)

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежат две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить **в меньшую** кучу один или три камня. Изменять количество камней в большей куче не разрешается. Игра завершается, когда количество камней в кучах становится равным. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым сравнявшим количество камней в двух кучах. Игроки играют рационально, т. е. без ошибок. В начальный момент в первой куче было 13 камней, а во второй — S камней, $1 ⩽ S ⩽ 23$. Найдите **два значения** S, при котором одновременно выполняются три условия: - у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети; - у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом; - Ваня может выиграть первым ходом после одного из ходов Пети.

Связка 19

Две кучи камней task_series_id: 704e02f6-6eda-472f-8f43-7535fa535928

Задание 19 (663a93cc-9b22-48c4-bffd-baf723547aec)

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежат две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может удвоить количество камней в обеих кучах или только в одной. Для того чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество камней. Игра завершается в тот момент, когда суммарное количество камней в двух кучах становится не менее 128. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, т. е. первым получивший такую позицию, при которой суммарное количество камней в двух кучах будет 128 или более. В начальный момент в первой куче было 16 камней, во второй куче — *S* камней; *1 ≤ S ≤ 50*. Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника. Найдите минимальное значение *S*, при котором Петя выигрывает своим первым ходом.

Задание 20 (880f4c43-3869-4137-9610-7d0da65a2bda)

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежат две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может удвоить количество камней в обеих кучах или только в одной. Для того чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество камней. Игра завершается в тот момент, когда суммарное количество камней в двух кучах становится не менее 128. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, т. е. первым получивший такую позицию, при которой суммарное количество камней в двух кучах будет 128 или более. В начальный момент в первой куче было 16 камней, во второй куче — *S* камней; *1 ≤ S ≤ 50*. Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника. Найдите минимальное значение *S*, при котором Ваня выигрывает своим первым ходом после неудачного хода Пети.

Задание 21 (74bf1fb1-2841-4e8c-b01f-1f51ae21cf00)

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежат две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может удвоить количество камней в обеих кучах или только в одной. Для того чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество камней. Игра завершается в тот момент, когда суммарное количество камней в двух кучах становится не менее 128. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, т. е. первым получивший такую позицию, при которой суммарное количество камней в двух кучах будет 128 или более. В начальный момент в первой куче было 16 камней, во второй куче — *S* камней; *1 ≤ S ≤ 50*. Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника. Найдите наименьшее значение *S*, при котором у Пети есть выигрышная стратегия, причём одновременно выполняются два условия: * Петя не может выиграть за один ход; * Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня.

Связка 20

Две кучи камней task_series_id: 70b5e882-a07b-4896-a343-e18db9d80e11

Задание 19 (baa75869-10a6-4f66-a1d1-6615f8527e0e)

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежат две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в одну из куч (по своему выбору) один или три камня или увеличить количество камней в куче в два раза. Для того чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество камней. Игра завершается в тот момент, когда суммарное количество камней в кучах становится не менее 159. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, т. е. первым получивший такую позицию, при которой в кучах будет 159 или больше камней. В начальный момент в первой куче было 7 камней, во второй куче — S камней; 1 ≤ S ≤ 130. Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника. Известно, что Ваня выиграл своим первым ходом после неудачного первого хода Пети. Укажите минимальное значение S, когда такая ситуация возможна.

Задание 20 (95c5dd13-3f45-4913-9ebb-0b4f4e28ca15)

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежат две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в одну из куч (по своему выбору) **один** или **три** камня или увеличить количество камней в куче в **два раза**. Для того чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество камней. Игра завершается в тот момент, когда суммарное количество камней в кучах становится не менее 159. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, т. е. первым получивший такую позицию, при которой в кучах будет 159 или больше камней. В начальный момент в первой куче было 7 камней, во второй куче — S камней; 1 ≤ S ≤ 130. Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника. Найдите два **наименьших** значения S, при которых у Пети есть выигрышная стратегия, причём одновременно выполняются два условия: * Петя не может выиграть за один ход; * Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня. Найденные значения запишите в ответе в порядке возрастания.

Задание 21 (b60ce98e-814a-4acd-9803-fe5f3fcb4895)

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежат две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в одну из куч (по своему выбору) один или три камня или увеличить количество камней в куче в два раза. Для того чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество камней. Игра завершается в тот момент, когда суммарное количество камней в кучах становится не менее 159. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, т. е. первым получивший такую позицию, при которой в кучах будет 159 или больше камней. В начальный момент в первой куче было 7 камней, во второй куче — S камней; 1 ≤ S ≤ 130. Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника. Найдите минимальное значение S, при котором одновременно выполняются два условия: * у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети; * у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом.

Связка 21

Две кучи камней task_series_id: 80206300-6e83-47bf-bd7c-e9807c1a713d

Задание 19 (ca987fb6-2d63-4cf5-9f4f-ae54db2116ee)

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежат две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в одну из куч (по своему выбору) один камень или увеличить количество камней в куче в три раза. Для того чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество камней. Игра завершается в тот момент, когда суммарное количество камней в кучах становится не менее 81. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, т. е. первым получивший такую позицию, при которой в кучах будет 81 или больше камней. В начальный момент в первой куче было 7 камней, во второй куче — $S$ камней; $1 \le S \le 73$. Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника. Известно, что Ваня выиграл своим первым ходом после неудачного первого хода Пети. Укажите минимальное значение $S$, при котором такая ситуация возможна.

Задание 20 (e39998a9-df15-4958-8fb4-ac5a264c2580)

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежат две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в одну из куч (по своему выбору) один камень или увеличить количество камней в куче в три раза. Для того чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество камней. Игра завершается в тот момент, когда суммарное количество камней в кучах становится не менее 81. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, т. е. первым получивший такую позицию, при которой в кучах будет 81 или больше камней. В начальный момент в первой куче было 7 камней, во второй куче — $S$ камней; $1 \le S \le 73$. Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника. Найдите два наименьших значения S, при которых у Пети есть выигрышная стратегия, причём одновременно выполняются два условия: * Петя не может выиграть за один ход * Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня Найденные значения запишите в ответе в порядке возрастания.

Задание 21 (eebf103f-c6fa-4837-a57d-ca547937dc17)

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежат две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в одну из куч (по своему выбору) один камень или увеличить количество камней в куче в три раза. Для того чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество камней. Игра завершается в тот момент, когда суммарное количество камней в кучах становится не менее 81. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, т. е. первым получивший такую позицию, при которой в кучах будет 81 или больше камней. В начальный момент в первой куче было 7 камней, во второй куче — $S$ камней; $1 \le S \le 73$. Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника. Найдите минимальное значение S, при котором одновременно выполняются два условия: * у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети * у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом Если найдено несколько значений S, в ответе укажите наименьшее из них.

Связка 22

Две кучи камней task_series_id: 826ad143-a15c-4f3b-83a9-44c06d3042f1

Задание 19 (4823ced1-9183-458e-88e8-d4cea11cb9c6)

Задание 20 (6bee28d2-5c48-4f0a-85e1-3ff6d2dad30f)

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежат две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в одну из куч (по своему выбору) один камень или увеличить количество камней в куче в два раза. Например, пусть в одной куче 7 камней, а в другой 5 камней; такую позицию в игре будем обозначать (7, 5). Тогда за один ход можно получить любую из четырёх позиций: (8, 5), (14, 5), (7, 6), (7, 10). Для того чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество камней. Игра завершается в тот момент, когда суммарное количество камней в кучах становится не менее 59. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, т. е. первым получивший такую позицию, что в кучах всего будет 59 камней или больше. В начальный момент в первой куче было пять камней, во второй куче — $S$ камней; $1~<~S~<~53$ . Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника. Найдите два значения S, при которых у Пети есть выигрышная стратегия, причём одновременно выполняются два условия: - Петя не может выиграть за один ход; - Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня. Найденные значения запишите в ответе в порядке возрастания.

Задание 21 (85ff026e-dcdb-4e68-8df4-69379e0cebc2)

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежат две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в одну из куч (по своему выбору) один камень или увеличить количество камней в куче в два раза. Например, пусть в одной куче 7 камней, а в другой 5 камней; такую позицию в игре будем обозначать (7, 5). Тогда за один ход можно получить любую из четырёх позиций: (8, 5), (14, 5), (7, 6), (7, 10). Для того чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество камней. Игра завершается в тот момент, когда суммарное количество камней в кучах становится не менее 59. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, т. е. первым получивший такую позицию, что в кучах всего будет 59 камней или больше. В начальный момент в первой куче было пять камней, во второй куче — $S$ камней; $1~<~S~<~53$ . Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника. Найдите минимальное значение S, при котором одновременно выполняются два условия: - у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть своим первым или вторым ходом при любой игре Пети; - у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть своим первым ходом.

Связка 23

Две кучи камней task_series_id: 94ad3edf-d616-4506-96ea-20e2abed5556

Задание 19 (64c56cfe-4568-4d78-8ee4-099b8ae5a34f)

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в одну из куч (по своему выбору) два камня или увеличить количество камней в куче в два раза. У каждого игрока есть неограниченное количество камней, чтобы делать ходы. Игра завершается в тот момент, когда суммарное количество камней в кучах становится не менее 131. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, т. е. первым получивший суммарно в кучах из 131 камней или больше. В начальный момент в первой куче было 11 камней, во второй куче — S камней; 1 ≤ S ≤ 119. Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника. Известно, что Ваня выиграл своим первым ходом после неудачного хода Пети. Укажите минимальное значение S, когда такая ситуация возможна.

Задание 20 (4e9f9e8f-b82b-459e-8d2e-3100853c0a9f)

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в одну из куч (по своему выбору) два камня или увеличить количество камней в куче в два раза. У каждого игрока есть неограниченное количество камней, чтобы делать ходы. Игра завершается в тот момент, когда суммарное количество камней в кучах становится не менее 131. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, т.е. первым получивший суммарно в кучах из 131 камней или больше. В начальный момент в первой куче было 11 камней, во второй куче – S камней; 1 ≤ S ≤ 119. Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника. Найдите два таких минимальных значения S, при которых у Пети есть выигрышная стратегия, причём одновременно выполняются два условия: - Петя не может выиграть за один ход; - Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня. Найденные значения запишите в ответе в порядке возрастания.

Задание 21 (dc617c4e-5d9f-4269-ba2a-70315958724c)

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в одну из куч (по своему выбору) два камня или увеличить количество камней в куче в два раза. У каждого игрока есть неограниченное количество камней, чтобы делать ходы. Игра завершается в тот момент, когда суммарное количество камней в кучах становится не менее 131. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, т.е. первым получивший суммарно в кучах из 131 камней или больше. В начальный момент в первой куче было 11 камней, во второй куче – S камней; 1 ≤ S ≤ 119. Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника. Найдите минимальное значение S, при котором одновременно выполняются два условия: - у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети; - у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом.

Связка 24

Две кучи камней task_series_id: 96239d57-bf51-4894-82e3-ed1733e8c442

Задание 19 (4470300a-141f-43cf-aa94-3cdb80806d73)

Поля и Вика решили поиграть. Перед ними лежат две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Поля. За один ход игрок может добавить в одну из куч (по своему выбору) **два камня** или увеличить количество камней в куче **в три раза**. Для того чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество камней. Игра завершается в тот момент, когда суммарное количество камней в кучах становится не менее 150. Победителем считается игрок, который сделал последний ход, т. е. первым получил такую позицию, при которой в кучах будет 150 или больше камней. В начальный момент в первой куче было шестнадцать камней, во второй куче — $S$ камней; $1 \leq S \leq 133$. Известно, что Вика выиграла своим первым ходом после неудачного первого хода Поли. Укажите **минимальное** значение S, когда такая ситуация возможна.

Задание 20 (6dde6d24-452c-4ec5-8a9b-02cddffda9f9)

Поля и Вика решили поиграть. Перед ними лежат две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Поля. За один ход игрок может добавить в одну из куч (по своему выбору) **два камня** или увеличить количество камней в куче **в три раза**. Для того чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество камней. Игра завершается в тот момент, когда суммарное количество камней в кучах становится не менее 150. Победителем считается игрок, который сделал последний ход, т. е. первым получил такую позицию, при которой в кучах будет 150 или больше камней. В начальный момент в первой куче было шестнадцать камней, во второй куче — $S$ камней; $1 \leq S \leq 133$. Будем говорить, что у игрока выигрышная стратегия, если он может выиграть при любых ходах противника. Определите **минимальное** и **максимальное** значения $S$, при которых у Поли есть выигрышная стратегия, причём одновременно выполняются два условия: - Поля не может выиграть за один ход - Поля может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Вика

Задание 21 (25bd839c-9a14-4c08-9032-7aaa86fbdf70)

Поля и Вика решили поиграть. Перед ними лежат две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Поля. За один ход игрок может добавить в одну из куч (по своему выбору) **два камня** или увеличить количество камней в куче **в три раза**. Для того чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество камней. Игра завершается в тот момент, когда суммарное количество камней в кучах становится не менее 150. Победителем считается игрок, который сделал последний ход, т. е. первым получил такую позицию, при которой в кучах будет 150 или больше камней. В начальный момент в первой куче было шестнадцать камней, во второй куче — $S$ камней; $1 \leq S \leq 133$. Будем говорить, что у игрока выигрышная стратегия, если он может выиграть при любых ходах противника. Найдите **максимальное** значение $S$, при котором одновременно выполняются два условия: - у Вики есть выигрышная стратегия, которая позволит ей выиграть первым или вторым ходом при любой игре Поли - у Вики нет стратегии, которая позволит ей гарантированно выиграть первым ходом

Связка 25

Две кучи камней task_series_id: 9c32ad79-4271-48d8-9e6a-e14f83ee4bfc

Задание 19 (2b1c56d7-cc00-456d-b644-5a9c5c3bcabc)

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежат две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в одну из куч (по своему выбору) **четыре** камня или увеличить количество камней в куче в **три раза**. Например, пусть в одной куче 10 камней, а в другой 5 камней; такую позицию в игре будем обозначать (10, 5). Тогда за один ход можно получить любую из четырёх позиций: (14, 5), (30, 5), (10, 9), (10, 15). Для того, чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество-камней. Игра завершается в тот момент, когда суммарное количество камней в кучах становится **не менее 231**. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, т. е. первым получивший такую позицию, при которой в кучах будет 231 или больше-камней. В начальный момент в первой куче было 10 камней, во второй куче — $S$ камней; $1 \leq S \leq 217.$ Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника. Описать стратегию игрока — значит описать, какой ход он должен сделать в любой ситуации, которая ему может встретиться при различной игре противника. В описание выигрышной стратегии не следует включать ходы играющего по этой стратегии игрока, не являющиеся для него безусловно выигрышными, т. е. не являющиеся выигрышными независимо от игры противника. Известно, что Ваня выиграл своим первым ходом после неудачного первого хода Пети. Укажите минимальное значение $S$, когда такая ситуация возможна.

Задание 20 (288c01cd-56e1-426d-a9fa-c136d56d5e9e)

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежат две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в одну из куч (по своему выбору) **четыре** камня или увеличить количество камней в куче в **три раза**. Например, пусть в одной куче 10 камней, а в другой 5 камней; такую позицию в игре будем обозначать (10, 5). Тогда за один ход можно получить любую из четырёх позиций: (14, 5), (30, 5), (10, 9), (10, 15). Для того, чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество-камней. Игра завершается в тот момент, когда суммарное количество камней в кучах становится **не менее 231**. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, т. е. первым получивший такую позицию, при которой в кучах будет 231 или больше-камней. В начальный момент в первой куче было 10 камней, во второй куче — $S$ камней; $1 \leq S \leq 217.$ Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника. Описать стратегию игрока — значит описать, какой ход он должен сделать в любой ситуации, которая ему может встретиться при различной игре противника. В описание выигрышной стратегии не следует включать ходы играющего по этой стратегии игрока, не являющиеся для него безусловно выигрышными, т. е. не являющиеся выигрышными независимо от игры противника. Найдите два **наименьших** значения $S$, при которых у Пети есть выигрышная стратегия, причём одновременно выполняются два условия: - Петя не может выиграть за один ход; - Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня. Найденные значения запишите в ответе в порядке возрастания.

Задание 21 (3a60c214-9099-4357-8fe7-d06d17567fb0)

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежат две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в одну из куч (по своему выбору) **четыре** камня или увеличить количество камней в куче в **три раза**. Например, пусть в одной куче 10 камней, а в другой 5 камней; такую позицию в игре будем обозначать (10, 5). Тогда за один ход можно получить любую из четырёх позиций: (14, 5), (30, 5), (10, 9), (10, 15). Для того, чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество-камней. Игра завершается в тот момент, когда суммарное количество камней в кучах становится **не менее 231**. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, т. е. первым получивший такую позицию, при которой в кучах будет 231 или больше-камней. В начальный момент в первой куче было 10 камней, во второй куче — $S$ камней; $1 \leq S \leq 217.$ Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника. Описать стратегию игрока — значит описать, какой ход он должен сделать в любой ситуации, которая ему может встретиться при различной игре противника. В описание выигрышной стратегии не следует включать ходы играющего по этой стратегии игрока, не являющиеся для него безусловно выигрышными, т. е. не являющиеся выигрышными независимо от игры противника. Найдите **минимальное** и **максимальное** значения $S$, при которых одновременно выполняются два условия: - у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети; - у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом. Найденные значения запишите в ответе в порядке возрастания.

Связка 26

Две кучи камней task_series_id: b7dd4e54-99b2-4d1b-a7d1-69ccaa986023

Задание 19 (92c85e44-0aff-4c11-87a3-17a14e88074f)

Два игрока, Петя и Ваня, решили поиграть. Перед ними лежат две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в одну из куч (по своему выбору) **три** камня или увеличить количество камней в куче в **два раза**. Игра завершается в тот момент, когда суммарное количество камней в кучах становится **не менее 143**. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, т. е. первым получивший суммарно 143 или больше камней в кучах. В начальный момент в первой куче было 16 камней, во второй куче — $S$ камней; $1 \leq S \leq 123.$ Известно, что Ваня выиграл своим первым ходом после неудачного первого хода Пети. Укажите **минимальное** значение $S$, когда такая ситуация возможна.

Задание 20 (23fac963-7167-45ed-9798-383de933450a)

Два игрока, Петя и Ваня, решили поиграть. Перед ними лежат две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в одну из куч (по своему выбору) **три** камня или увеличить количество камней в куче в **два раза**. Игра завершается в тот момент, когда суммарное количество камней в кучах становится **не менее 143**. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, т. е. первым получивший суммарно 143 или больше камней в кучах. В начальный момент в первой куче было 16 камней, во второй куче — $S$ камней; $1 \leq S \leq 123.$ Будем говорить, что у игрока *выигрышная стратегия*, если он может выиграть при любых ходах противника. Найдите два **наименьших** значения $S$, при которых у Пети есть выигрышная стратегия, причём одновременно выполняются два условия: - Петя не может выиграть за один ход - Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня Найденные значения запишите в ответе в порядке возрастания.

Задание 21 (1105362a-2e8b-4f6a-a486-965ebac6741d)

Два игрока, Петя и Ваня, решили поиграть. Перед ними лежат две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в одну из куч (по своему выбору) **три** камня или увеличить количество камней в куче в **два раза**. Игра завершается в тот момент, когда суммарное количество камней в кучах становится **не менее 143**. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, т. е. первым получивший суммарно 143 или больше камней в кучах. В начальный момент в первой куче было 16 камней, во второй куче — $S$ камней; $1 \leq S \leq 123.$ Будем говорить, что у игрока *выигрышная стратегия*, если он может выиграть при любых ходах противника. Найдите **минимальное** значение $S$, при которых одновременно выполняются два условия: - у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети - у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом Если найдено несколько значений $S$, в ответе запишите наименьшее из них.

Связка 27

Две кучи камней task_series_id: b8eb12dd-aac3-47e4-972a-812dbb0ae6f1

Задание 19 (2115fbd3-453f-4524-977b-d38be83bf392)

**Петя** и **Ваня** решили поиграть. Перед ними лежат две кучи камней. Ребята ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может убрать из любой кучи **два** камня или уменьшить количество камней в большей куче в **два** раза (с округлением в большую сторону). Например, пусть в одной куче 8, а в другой 11 камней; эту позицию мы будем обозначать так: (8, 11). За один ход из позиции (8, 11) можно получить любую из трёх позиций: (6, 11), (8, 9), (8, 6). Игра завершается в тот момент, когда суммарное количество камней в кучах становится не более 33. Победителем считается игрок, который сделал последний ход, то есть первым получил позицию, в которой в кучах будет 33 камня или меньше. В начале игры в первой куче было 23 камня, во второй — $S$ камней, $S \gt 10$. Известно, что Ваня выиграл своим первым ходом после неудачного первого хода Пети. Укажите **максимальное** значение $S$, при котором такая ситуация возможна.

Задание 20 (8ce1f156-68bc-46df-b891-086b45aaff04)

**Петя** и **Ваня** решили поиграть. Перед ними лежат две кучи камней. Ребята ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может убрать из любой кучи **два** камня или уменьшить количество камней в большей куче в **два** раза (с округлением в большую сторону). Например, пусть в одной куче 8, а в другой 11 камней; эту позицию мы будем обозначать так: (8, 11). За один ход из позиции (8, 11) можно получить любую из трёх позиций: (6, 11), (8, 9), (8, 6). Игра завершается в тот момент, когда суммарное количество камней в кучах становится не более 33. Победителем считается игрок, который сделал последний ход, то есть первым получил позицию, в которой в кучах будет 33 камня или меньше. В начале игры в первой куче было 23 камня, во второй — $S$ камней, $S \gt 10$. У игрока выигрышная стратегия, если он может выиграть при любых ходах противника. Найдите **минимальное** и **максимальное** значения $S$, при которых у Пети есть выигрышная стратегия, причём одновременно выполняются два условия: * Петя не может выиграть за один ход * Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня Найденные значения запишите в ответе в порядке возрастания.

Задание 21 (0f0ed9f3-f2a3-4239-a371-525afe9cfb29)

**Петя** и **Ваня** решили поиграть. Перед ними лежат две кучи камней. Ребята ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может убрать из любой кучи **два** камня или уменьшить количество камней в большей куче в **два** раза (с округлением в большую сторону). Например, пусть в одной куче 8, а в другой 11 камней; эту позицию мы будем обозначать так: (8, 11). За один ход из позиции (8, 11) можно получить любую из трёх позиций: (6, 11), (8, 9), (8, 6). Игра завершается в тот момент, когда суммарное количество камней в кучах становится не более 33. Победителем считается игрок, который сделал последний ход, то есть первым получил позицию, в которой в кучах будет 33 камня или меньше. В начале игры в первой куче было 23 камня, во второй — $S$ камней, $S \gt 10$. У игрока выигрышная стратегия, если он может выиграть при любых ходах противника. Найдите **максимальное** значение $S$, при котором одновременно выполняются два условия: * у Вани есть выигрышная стратегия, которая позволяет ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети * у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом

Связка 28

Две кучи камней task_series_id: bb704d72-cc1d-40af-9b55-216505aa6019

Задание 19 (d1374a59-7435-41f3-92cc-2a148cd658f4)

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежат две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить **в меньшую** кучу один или три камня. Изменять количество камней в большей куче не разрешается. Игра завершается, когда количество камней в кучах становится равным. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым сравнявшим количество камней в двух кучах. Игроки играют рационально, т. е. без ошибок. В начальный момент в первой куче было 13 камней, а во второй — S камней, $1 \leq S \leq 23; S \neq 13$. Укажите такое **минимальное** значение S, при котором Петя не может выиграть за один ход, но при любом ходе Пети Ваня может выиграть своим первым ходом.

Задание 20 (870b5f6b-91d3-4ef1-ac6e-aab28a10952d)

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежат две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить **в меньшую** кучу один или три камня. Изменять количество камней в большей куче не разрешается. Игра завершается, когда количество камней в кучах становится равным. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым сравнявшим количество камней в двух кучах. Игроки играют рационально, т. е. без ошибок. В начальный момент в первой куче было 13 камней, а во второй — S камней, $1 \leq S \leq 23; S \neq 13$. Найдите два наименьших значения S, при которых у Пети есть выигрышная стратегия, причём одновременно выполняются два условия: * Петя не может выиграть за один ход; * Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня. Найденные значения запишите в ответ в порядке возрастания.

Задание 21 (452548f5-8fb0-4f1c-850c-91eb5100e253)

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежат две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить **в меньшую кучу** один или три камня. Изменять количество камней в большей куче не разрешается. Игра завершается, когда количество камней в кучах становится равным. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым сравнявшим количество камней в двух кучах. Игроки играют рационально, т. е. без ошибок. В начальный момент в первой куче было 13 камней, а во второй — S камней, $1 \leq S \leq 23; S \neq 13$. Найдите **два значения** S, при котором одновременно выполняются три условия: - у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети; - у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом; - Ваня может выиграть первым ходом после одного из ходов Пети.

Связка 29

Две кучи камней task_series_id: cc1ee063-3880-4342-854b-8b91526cb264

Задание 19 (c1b9ad76-87d2-4573-ac67-1ac3a5f3c767)

**Полина** и **Вика** решили поиграть. Перед ними лежат две кучи камней. За один ход игрок может убрать из любой кучи **четыре** камня (если в куче не менее четырёх камней) или уменьшить количество камней в куче в **три** раза (с округлением в меньшую сторону). При этом **нельзя повторять предыдущий ход оппонента** с той же кучей. Например, пусть в одной куче 8, а в другой 11 камней; эту позицию мы будем обозначать так: (8, 11). За один ход из позиции (8, 11) можно получить любую из четырёх позиций: (4, 11), (8, 7), (2, 11), (8, 3). Игра завершается в тот момент, когда суммарное количество камней в кучах становится не более 42. Победителем считается игрок, который сделал последний ход, то есть первым получил позицию, в которой в кучах будет 42 камня или меньше. В начале игры в первой куче было 50, во второй — $S$ камней, $S \gt 1$. Первый ход делает Полина. У игрока выигрышная стратегия, если он может победить при любых ходах противника. Укажите значение $S$, при котором Полина не может выиграть за один ход, но при любом ходе Полины Вика может выиграть своим первым ходом.

Задание 20 (0eeba0db-dc93-412a-b45d-dbaaad5ebd2a)

**Полина** и **Вика** решили поиграть. Перед ними лежат две кучи камней. За один ход игрок может убрать из любой кучи **четыре** камня (если в куче не менее четырёх камней) или уменьшить количество камней в куче в **три** раза (с округлением в меньшую сторону). При этом **нельзя повторять предыдущий ход оппонента** с той же кучей. Например, пусть в одной куче 8, а в другой 11 камней; эту позицию мы будем обозначать так: (8, 11). За один ход из позиции (8, 11) можно получить любую из четырёх позиций: (4, 11), (8, 7), (2, 11), (8, 3). Игра завершается в тот момент, когда суммарное количество камней в кучах становится не более 42. Победителем считается игрок, который сделал последний ход, то есть первым получил позицию, в которой в кучах будет 42 камня или меньше. В начале игры в первой куче было 50, во второй — $S$ камней, $S \gt 1$. Первый ход делает Полина. У игрока выигрышная стратегия, если он может победить при любых ходах противника. Найдите количество значений $S$, при которых у Полины есть выигрышная стратегия, причём одновременно выполняются два условия: * Полина не может выиграть за один ход * Полина может выиграть вторым ходом независимо от того, как будет ходить Вика

Задание 21 (5c8173be-d1b3-49a7-bf35-08d41edc2bdf)

**Полина** и **Вика** решили поиграть. Перед ними лежат две кучи камней. За один ход игрок может убрать из любой кучи **четыре** камня (если в куче не менее четырёх камней) или уменьшить количество камней в куче в **три** раза (с округлением в меньшую сторону). При этом **нельзя повторять предыдущий ход оппонента** с той же кучей. Например, пусть в одной куче 8, а в другой 11 камней; эту позицию мы будем обозначать так: (8, 11). За один ход из позиции (8, 11) можно получить любую из четырёх позиций: (4, 11), (8, 7), (2, 11), (8, 3). Игра завершается в тот момент, когда суммарное количество камней в кучах становится не более 42. Победителем считается игрок, который сделал последний ход, то есть первым получил позицию, в которой в кучах будет 42 камня или меньше. В начале игры в первой куче было 50, во второй — $S$ камней, $S \gt 1$. Первый ход делает Полина. У игрока выигрышная стратегия, если он может победить при любых ходах противника. Найдите **максимальное** значение $S$, при котором одновременно выполняются два условия: * у Вики есть выигрышная стратегия, которая позволяет ей выиграть первым или вторым ходом при любой игре Полины * у Вики нет стратегии, которая позволит ей гарантированно выиграть первым ходом

Связка 30

Две кучи камней task_series_id: d7d6923b-717c-40d9-888b-889368ffc4cf

Задание 19 (c8b5be06-287d-4f48-8651-57a89499b580)

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежат две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может убрать из одной из куч один камень или уменьшить количество камней в куче в два раза (если количество камней в куче нечётно, остаётся на 1 камень **больше**, чем убирается). Например, пусть в одной куче 6, а в другой 9 камней; такую позицию мы будем обозначать (6, 9). За один ход из позиции (6, 9) можно получить любую из четырёх позиций: (5, 9), (3, 9), (6, 8), (6, 5). Игра завершается в тот момент, когда суммарное количество камней в кучах становится не более 20. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший позицию, в которой в кучах будет 20 или меньше камней. В начальный момент в первой куче было 10 камней, во второй куче — S камней, $S~>~10$. Найдите значение S, при котором Ваня выигрывает своим первым ходом при любой игре Пети.

Задание 20 (b700ad8d-f31b-4df2-9396-e0afc4104066)

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежат две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может убрать из одной из куч один камень или уменьшить количество камней в куче в два раза (если количество камней в куче нечётно, остаётся на 1 камень **больше**, чем убирается). Например, пусть в одной куче 6, а в другой 9 камней; такую позицию мы будем обозначать (6, 9). За один ход из позиции (6, 9) можно получить любую из четырёх позиций: (5, 9), (3, 9), (6, 8), (6, 5). Игра завершается в тот момент, когда суммарное количество камней в кучах становится не более 20. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший позицию, в которой в кучах будет 20 или меньше камней. В начальный момент в первой куче было 10 камней, во второй куче — S камней, $S~>~10$. Найдите минимальное и максимальное значение S, при котором у Пети есть выигрышная стратегия, причём одновременно выполняются два условия: - Петя не может выиграть за один ход; - Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня. Найденные значения запишите в ответе в порядке возрастания.

Задание 21 (485c38ae-8e8d-4f77-b80f-e482bfa616ee)

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежат две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может убрать из одной из куч один камень или уменьшить количество камней в куче в два раза (если количество камней в куче нечётно, остаётся на 1 камень **больше**, чем убирается). Например, пусть в одной куче 6, а в другой 9 камней; такую позицию мы будем обозначать (6, 9). За один ход из позиции (6, 9) можно получить любую из четырёх позиций: (5, 9), (3, 9), (6, 8), (6, 5). Игра завершается в тот момент, когда суммарное количество камней в кучах становится не более 20. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший позицию, в которой в кучах будет 20 или меньше камней. В начальный момент в первой куче было 10 камней, во второй куче — S камней, $S~>~10$. Найдите значение S, при котором одновременно выполняются два условия: - у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети; - у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом.

Связка 31

Две кучи камней task_series_id: e1e1a9dd-f575-442d-b4a4-1d654e075bac

Задание 19 (eb6cdbcf-151c-463a-85fd-b121791d5675)

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежат две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может: - **увеличить количество камней в одной куче на количество камней, которые находятся в другой куче** - **уравнять количество камней в двух кучах, добавив в меньшую столько камней, чтобы количество камней совпало. Если в кучах уже одинаковое количество камней, то их количество не меняется** Например, пусть в одной куче 10 камней, а в другой 5 камней, такую позицию в игре будем обозначать (10, 5). Тогда за один ход можно получить любую из трёх позиций: (15, 5), (10, 15), (10, 10). А если в обоих кучах по 10 камней, то можно получить такие три позиции: (10, 10), (10, 20), (20, 10). Для того чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество камней. Игра завершается в тот момент, когда суммарное количество камней в кучах становится не менее 189. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, т. е. первым получивший такую позицию, при которой в кучах будет 189 или больше камней. В начальный момент в первой куче было 5 камней, во второй куче — S камней; 1 ≤ S ≤ 183. Будем говорить, что у игрока выигрышная стратегия, если он может выиграть при любых ходах противника. Известно, что Ваня выиграл своим первым ходом после неудачного первого хода Пети. Укажите минимальное значение S, когда такая ситуация возможна.

Задание 20 (7eafa642-2a4a-4d85-a975-23627928033f)

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежат две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может: - **увеличить количество камней в одной куче на количество камней, которые находятся в другой куче** - **уравнять количество камней в двух кучах, добавив в меньшую столько камней, чтобы количество камней совпало. Если в кучах уже одинаковое количество камней, то их количество не меняется** Например, пусть в одной куче 10 камней, а в другой 5 камней, такую позицию в игре будем обозначать (10, 5). Тогда за один ход можно получить любую из трёх позиций: (15, 5), (10, 15), (10, 10). А если в обоих кучах по 10 камней, то можно получить такие три позиции: (10, 10), (10, 20), (20, 10). Для того чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество камней. Игра завершается в тот момент, когда суммарное количество камней в кучах становится не менее 189. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, т. е. первым получивший такую позицию, при которой в кучах будет 189 или больше камней. В начальный момент в первой куче было 5 камней, во второй куче — S камней; 1 ≤ S ≤ 183. Будем говорить, что у игрока выигрышная стратегия, если он может выиграть при любых ходах противника. Найдите наименьшее и наибольшее значения S, при которых у Пети есть выигрышная стратегия, причём одновременно выполняются два условия: - Петя не может выиграть за один ход; - Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня. Найденные значения запишите в ответе в порядке возрастания.

Задание 21 (6d28bf92-fab7-4e31-9701-83343c69a9a2)

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежат две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может: - **увеличить количество камней в одной куче на количество камней, которые находятся в другой куче** - **уравнять количество камней в двух кучах, добавив в меньшую столько камней, чтобы количество камней совпало. Если в кучах уже одинаковое количество камней, то их количество не меняется** Например, пусть в одной куче 10 камней, а в другой 5 камней, такую позицию в игре будем обозначать (10, 5). Тогда за один ход можно получить любую из трёх позиций: (15, 5), (10, 15), (10, 10). А если в обоих кучах по 10 камней, то можно получить такие три позиции: (10, 10), (10, 20), (20, 10). Для того чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество камней. Игра завершается в тот момент, когда суммарное количество камней в кучах становится не менее 189. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, т. е. первым получивший такую позицию, при которой в кучах будет 189 или больше камней. В начальный момент в первой куче было 5 камней, во второй куче — S камней; 1 ≤ S ≤ 183. Будем говорить, что у игрока выигрышная стратегия, если он может выиграть при любых ходах противника. Найдите минимальное значение S, при котором одновременно выполняются два условия: - у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети; - у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом. Если найдено несколько значений S, в ответе запишите минимальное из них.

Связка 32

Две кучи камней task_series_id: e325c714-f025-473d-9fee-11903cbce0d5

Задание 19 (2f365516-86fc-4f33-939c-e7df34f2f2bc)

Задание 20 (dc298f71-f193-4660-a8a5-e92d90375085)

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежат две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в одну из куч (по своему выбору) два камня, или увеличить количество камней в куче в два раза. Например, пусть в одной куче 10 камней, а в другой 5 камней; такую позицию в игре будем обозначать (10, 5). Тогда за один ход можно получить любую из четырёх позиций: (12, 5), (20, 5), (10, 7), (10, 10). Для того чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество камней. Игра завершается в тот момент, когда произведение количеств камней в кучах становится не менее 123. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, т.е. первым получивший такую позицию, при которой произведение числа камней в кучах будет 123 или более. В начальный момент в первой куче было 3 камня, во второй куче - S камней; 1 ≤ S ≤ 40. Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника. Найдите два наибольших значения S, при которых у Пети есть выигрышная стратегия, причём одновременно выполняются два условия: * Петя не может выиграть за один ход; * Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня. Найденные значения укажите в порядке возрастания.

Задание 21 (5e189a24-ebc3-48ec-8c66-8ade5522f437)

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежат две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в одну из куч (по своему выбору) два камня, или увеличить количество камней в куче в два раза. Например, пусть в одной куче 10 камней, а в другой 5 камней; такую позицию в игре будем обозначать (10, 5). Тогда за один ход можно получить любую из четырёх позиций: (12, 5), (20, 5), (10, 7), (10, 10). Для того чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество камней. Игра завершается в тот момент, когда произведение количеств камней в кучах становится не менее 123. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, т.е. первым получивший такую позицию, при которой произведение числа камней в кучах будет 123 или более. В начальный момент в первой куче было 3 камня, во второй куче - S камней; 1 ≤ S ≤ 40. Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника. Найдите наибольшее значение S, при котором одновременно выполняются два условия: * у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети; * у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом.

Связка 33

Две кучи камней task_series_id: e596ff2b-7a93-438f-852a-b079d7577266

Задание 19 (f1f9f21e-760f-4afb-831f-b76437f2cce1)

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. На координатной плоскости перед ними стоит фишка. Игроки ходят по очереди — перемещают фишку из точки с координатами $(x, y)$ в одну из трёх точек: или в точку с координатами $(2x, y)$, или в точку с координатами $(x, y+3)$, или в точку с координатами $(x, y+4)$. Выигрывает игрок, после хода которого расстояние от фишки до точки с координатами $(0, 0)$ больше 14 единиц. В начале игры фишка находится в точке с координатами $(3, S); 1 \le S \le 13$. Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника. Укажите **минимальное** значение $S$, при котором Петя не может выиграть за один ход, но при любом ходе Пети Ваня может выиграть своим первым ходом.

Задание 20 (21866c38-5577-4f86-ab03-8918080d8162)

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. На координатной плоскости перед ними стоит фишка. Игроки ходят по очереди — перемещают фишку из точки с координатами $(x, y)$ в одну из трёх точек: или в точку с координатами $(2x, y)$, или в точку с координатами $(x, y+3)$, или в точку с координатами $(x, y+4)$. Выигрывает игрок, после хода которого расстояние от фишки до точки с координатами $(0, 0)$ больше 14 единиц. В начале игры фишка находится в точке с координатами $(3, S); 1 \le S \le 13$. Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника. Найдите **два минимальных** значения $S$, при которых у Пети есть выигрышная стратегия, причём одновременно выполняются два условия: * Петя не может выиграть за один ход * Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня Найденные значения запишите в ответе в порядке возрастания.

Задание 21 (7589e7e8-a797-4ff2-aaaf-97496276fdbd)

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. На координатной плоскости перед ними стоит фишка. Игроки ходят по очереди — перемещают фишку из точки с координатами $(x, y)$ в одну из трёх точек: или в точку с координатами $(2x, y)$, или в точку с координатами $(x, y+3)$, или в точку с координатами $(x, y+4)$. Выигрывает игрок, после хода которого расстояние от фишки до точки с координатами $(0, 0)$ больше 14 единиц. В начале игры фишка находится в точке с координатами $(3, S); 1 \le S \le 13$. Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника. Найдите **максимальное** значение $S$, при котором одновременно выполняются два условия: * у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети * у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом

Связка 34

Две кучи камней task_series_id: eb4fb800-d22e-4513-8678-2c81fb41a657

Задание 19 (77aab5b2-72a5-4702-9766-b0630ebb8c11)

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежат две кучи камней, не меньше одного камня в каждой. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в большую кучу любое количество камней от одного до трёх или удвоить количество камней в меньшей куче. Если кучи содержат равное количество камней, можно добавить в любую из них от одного до трёх камней, удвоение в этой ситуации запрещено. Игра завершается в тот момент, когда количество камней **в одной из куч** достигает 40. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший кучу, в которой будет 40 или больше камней. Известно, что Петя смог выиграть первым ходом. Какое наименьшее число камней могло быть суммарно в двух кучах?

Задание 20 (1d76f57f-5e17-46ba-92bc-37adc56980d7)

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежат две кучи камней, не меньше одного камня в каждой. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в большую кучу любое количество камней от одного до трёх или удвоить количество камней в меньшей куче. Если кучи содержат равное количество камней, можно добавить в любую из них от одного до трёх камней, удвоение в этой ситуации запрещено. Игра завершается в тот момент, когда количество камней **в одной из куч** достигает 40. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший кучу, в которой будет 40 или больше камней. В начальный момент в первой куче было 11 камней, а во второй — S камней, $1~⩽~S~⩽~39$. Укажите минимальное и максимальное из таких значений S, при которых Петя не может выиграть первым ходом, но у Пети есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть вторым ходом при любой игре Вани. В ответе запишите сначала минимальное значение, затем максимальное.

Задание 21 (b021f83e-ca24-4822-aea3-5fcb4969cea4)

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежат две кучи камней, не меньше одного камня в каждой. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в большую кучу любое количество камней от одного до трёх или удвоить количество камней в меньшей куче. Если кучи содержат равное количество камней, можно добавить в любую из них от одного до трёх камней, удвоение в этой ситуации запрещено. Игра завершается в тот момент, когда количество камней **в одной из куч** достигает 40. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший кучу, в которой будет 40 или больше камней. В начальный момент в первой куче был 31 камень, а во второй — S камней, $1~⩽~S~⩽~39$. Найдите такое значение S, при котором у Вани есть стратегия, позволяющая ему выиграть вторым ходом при любой игре Пети, но у Вани нет стратегии, которая позволяла бы ему гарантированно выиграть первым ходом.

Связка 35

Две кучи камней task_series_id: ec3c304f-7c12-4f6e-9f68-f87c2180c158

Задание 19 (0b61b0bb-a5d6-4bcc-92f7-08bb2571a584)

Задание 20 (a3d093e9-2646-4339-9ce1-db68297a7433)

Задание 21 (dffb654a-32ff-4f57-a0c2-0a1d35ee563a)

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежат две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в одну из куч (по своему выбору) два камня, или увеличить количество камней в куче в два раза. Например, пусть в одной куче 10 камней, а в другой 5 камней; такую позицию в игре будем обозначать (10, 5). Тогда за один ход можно получить любую из четырёх позиций: (12, 5), (20, 5), (10, 7), (10, 10). Для того чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество камней. Игра завершается в тот момент, когда суммарное количество камней в двух кучах становится не менее 42. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, т. е. первым получивший такую позицию, при которой суммарное количество камней в двух кучах будет 42 или более. В начальный момент в первой куче было 8 камней, во второй куче — *S* камней; *1 ≤ S ≤ 33*. Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника. Найдите наименьшее значение *S*, при котором у Пети есть выигрышная стратегия, причём одновременно выполняются два условия: * Петя не может выиграть за один ход; * Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня.

Связка 36

Две кучи камней task_series_id: f3fbc574-395a-4df2-9fe9-297b14c8e947

Задание 19 (d5eb86df-c102-4890-83c0-0205364bbcea)

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежат две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в одну из куч (по своему выбору) один камень или увеличить количество камней в куче в два раза. Для того чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество камней. Игра завершается в тот момент, когда произведение количеств камней в кучах становится не менее 455. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, т. е. первым получивший такую позицию, при которой произведение количества камней в кучах будет больше либо равно 455. В начальный момент в первой куче было 5 камней, во второй куче — S камней; 1 ≤ S ≤ 90. Известно, что Ваня выиграл своим первым ходом после неудачного первого хода Пети. Укажите минимальное значение S, когда такая ситуация возможна.

Задание 20 (522f1001-130b-48ec-964d-8ca631e42325)

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежат две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в одну из куч (по своему выбору) один камень или увеличить количество камней в куче в два раза. Для того чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество камней. Игра завершается в тот момент, когда произведение количеств камней в кучах становится не менее 455. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, т. е. первым получивший такую позицию, при которой произведение количества камней в кучах будет больше либо равно 455. В начальный момент в первой куче было 5 камней, во второй куче — S камней; 1 ≤ S ≤ 90. Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника. Найдите два наибольших значения S, при которых у Пети есть выигрышная стратегия, причём одновременно выполняются два условия: * Петя не может выиграть за один ход; * Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня. Найденные значения запишите в ответе в порядке возрастания.

Задание 21 (f92bc45e-4278-4cb3-8b7c-d087d4a9072b)

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежат две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в одну из куч (по своему выбору) один камень или увеличить количество камней в куче в два раза. Для того чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество камней. Игра завершается в тот момент, когда произведение количеств камней в кучах становится не менее 455. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, т. е. первым получивший такую позицию, при которой произведение количества камней в кучах будет больше либо равно 455. В начальный момент в первой куче было 5 камней, во второй куче — S камней; 1 ≤ S ≤ 90. Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника. Найдите минимальное значение S, при котором одновременно выполняются два условия: * у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети; * у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом.

Связка 37

Две кучи камней task_series_id: f74fb8b2-cdb5-4b9e-bd28-3c7d67615c85

Задание 19 (78acf016-f5bd-464b-82ef-a5d87be9b86e)

Задание 20 (6344e44b-c7c2-435e-85f8-a14588476999)

Задание 21 (ba1277e9-0808-4e28-b2ab-0e09edab5867)

Связка 38

Две кучи камней task_series_id: f8c8efd9-58dc-4af5-a60c-692da5757c81

Задание 19 (695ed2a9-ee87-4b30-b56b-3d38117b0fd2)

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит две кучи камней. Первый ход делает Петя, игроки ходят по очереди один за другим. Игрок может либо увеличить количество камней в любой из куч на 3, либо увеличить количество вдвое. Игра завершается, когда хотя бы в одной из куч количество камней становится не менее 21. Обозначим, как _(х, у)_ игровую позицию, когда в первой куче _х_ камней, во второй — _у_. Количество камней в обоих кучах в начале игры положительное. Так, если игрок делает ход из позиции (3, 6), то он может получить одну из трёх позиций (6, 6), (3, 9), (3, 12). Известно, что игра началась из позиции (5, S); 1 ≤ S ≤ 20. Найдите все значения S, при которых у Пети есть выигрышная стратегия в два хода. В качестве ответа укажите наименьшее и наибольшее значения S **через пробел**.

Задание 20 (1ead1a07-8c19-4dac-aab4-6a34b2836ac6)

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит две кучи камней. Первый ход делает Петя, игроки ходят по очереди один за другим. Игрок может либо увеличить количество камней в любой из куч на 3, либо увеличить количество вдвое. Игра завершается, когда хотя бы в одной из куч количество камней становится не менее 21. Обозначим, как (_х_, _у_) игровую позицию, когда в первой куче _х_ камней, во второй — _у_. Количество камней в обоих кучах в начале игры положительное. Так, если игрок делает ход из позиции (3, 6), то он может получить одну из трех позиций (6, 6), (3, 9), (3, 12). Известно, что игра началась из позиции (4, S); 1 ≤ S ≤ 19. Укажите минимальное количество камней во второй куче, если известно, что в таком случае Ваня имеет выигрышную стратегию в два или три хода. Укажи одно значение.

Задание 21 (5cba8472-c9ac-40d5-bbe8-c0cd7a2b7e0c)

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит две кучи камней. Первый ход делает Петя, игроки ходят по очереди один за другим. Игрок может либо увеличить количество камней в любой из куч на 3, либо увеличить количество вдвое. Игра завершается, когда хотя бы в одной из куч количество камней становится не менее 21. Обозначим, как _(х, у)_ игровую позицию, когда в первой куче _х_ камней, во второй — _у_. Количество камней в обоих кучах в начале игры положительное. Так, если игрок делает ход из позиции (3, 6), то он может получить одну из трёх позиций (6, 6), (3, 9), (3, 12). Известно, что Петя имеет выигрышную стратегию при игре из позиции (3, S); 1 ≤ S ≤ 18. Найдите все возможные значения S, если известно. Что Петя не может выиграть своим первым ходом? Запишите найденные значения в порядке возрастания без разделителей. _Пример_: значения S 5, 8, 9 запишутся как 589.

Связка 39

Две кучи камней task_series_id: fa961bf9-25f9-4989-9755-a10968f4fefc

Задание 19 (b5e5c601-cde3-4bce-ae7c-86a422d3e0cc)

Петя и Ваня решили поиграть. Перед ними лежат две кучи камней. Мальчики ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в одну из куч (по своему выбору) **3 камня или увеличить в одной из куч количество камней в 2 раза**. Для того чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество камней. Игра завершается в тот момент, когда суммарное количество камней в кучах становится не менее 503. Победителем считается игрок, который сделал последний ход, т. е. первым получил такую позицию, при которой в кучах будет 503 или больше камней. В начальный момент в первой куче было 15 камней, во второй куче — S камней; 1 ≤ S ≤ 487. Будем говорить, что у игрока выигрышная стратегия, если он может выиграть при любых ходах противника. Известно, что Ваня выиграл своим первым ходом после неудачного первого хода Пети. Укажите минимальное значение S, при котором такая ситуация возможна.

Задание 20 (55e6f9d1-f15b-4dd4-8222-63e81fb38377)

Петя и Ваня решили поиграть. Перед ними лежат две кучи камней. Мальчики ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в одну из куч (по своему выбору) **3 камня или увеличить в одной из куч количество камней в 2 раза**. Для того чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество камней. Игра завершается в тот момент, когда суммарное количество камней в кучах становится не менее 503. Победителем считается игрок, который сделал последний ход, т. е. первым получил такую позицию, при которой в кучах будет 503 или больше камней. В начальный момент в первой куче было 15 камней, во второй куче — S камней; 1 ≤ S ≤ 487. Будем говорить, что у игрока выигрышная стратегия, если он может выиграть при любых ходах противника. Найдите наименьшее и наибольшее значения S, при которых у Пети есть выигрышная стратегия, причём одновременно выполняются два условия: - Петя не может выиграть за один ход - Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня Найденные значения запишите в ответе в порядке возрастания.

Задание 21 (00dc8b93-bbfc-4dd4-9287-e7e691893ac0)

Петя и Ваня решили поиграть. Перед ними лежат две кучи камней. Мальчики ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в одну из куч (по своему выбору) **3 камня или увеличить в одной из куч количество камней в 2 раза**. Для того чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество камней. Игра завершается в тот момент, когда суммарное количество камней в кучах становится не менее 503. Победителем считается игрок, который сделал последний ход, т. е. первым получил такую позицию, при которой в кучах будет 503 или больше камней. В начальный момент в первой куче было 15 камней, во второй куче — S камней; 1 ≤ S ≤ 487. Будем говорить, что у игрока выигрышная стратегия, если он может выиграть при любых ходах противника. Найдите **максимальное** значение S, при котором одновременно выполняются два условия: — у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети — у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом

Связка 40

Одна куча камней task_series_id: 014d5a7d-6911-40bb-9bb6-dde78512618f

Задание 19 (50142ca9-4e64-4961-8dd9-aa258334bda2)

**Петя** и **Ваня** решили поиграть. Перед ними лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может: * добавить в кучу **два** камня * добавить в кучу **три** камня * увеличить количество камней в куче в **три** раза Например, из кучи в 55 камней за один ход можно получить кучу из 57, 58 или 165 камней. Игра завершается, когда количество камней в куче становится не менее 349. Победителем считается игрок, который сделал последний ход, то есть в результате его действия в куче стало 349 камней или больше. До начала игры в куче было $S$ камней, $1 \le S \le 348$. У игрока выигрышная стратегия, если он может выиграть при любых ходах противника. Известно, что Ваня выиграл своим первым ходом после неудачного первого хода Пети. Укажите **минимальное** значение $S$, при котором такая ситуация возможна.

Задание 20 (274dfb8a-3089-4ecd-b199-0acf2c5bbb64)

**Петя** и **Ваня** решили поиграть. Перед ними лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может: * добавить в кучу **два** камня * добавить в кучу **три** камня * увеличить количество камней в куче в **три** раза Например, из кучи в 55 камней за один ход можно получить кучу из 57, 58 или 165 камней. Игра завершается, когда количество камней в куче становится не менее 349. Победителем считается игрок, который сделал последний ход, то есть в результате его действия в куче стало 349 камней или больше. До начала игры в куче было $S$ камней, $1 \ge S \le 348$. У игрока выигрышная стратегия, если он может выиграть при любых ходах противника. Найдите два **наименьших** значения $S$, при которых у Пети есть выигрышная стратегия, причём одновременно выполняются два условия: * Петя не может выиграть за один ход * Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня Найденные значения запишите в ответе в порядке возрастания.

Задание 21 (29409c4a-9c10-41f9-8936-013daa3a3160)

**Петя** и **Ваня** решили поиграть. Перед ними лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может: * добавить в кучу **два** камня * добавить в кучу **три** камня * увеличить количество камней в куче в **три** раза Например, из кучи в 55 камней за один ход можно получить кучу из 57, 58 или 165 камней. Игра завершается, когда количество камней в куче становится не менее 349. Победителем считается игрок, который сделал последний ход, то есть в результате его действия в куче стало 349 камней или больше. До начала игры в куче было $S$ камней, $1 \le S \le 348$. У игрока выигрышная стратегия, если он может выиграть при любых ходах противника. Найдите **минимальное** значение $S$, при которых одновременно выполняются два условия: * У Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети * У Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом

Связка 41

Одна куча камней task_series_id: 0c5c225b-1169-437a-8cb2-f335ecfe2ab1

Задание 19 (c5a67f01-a2c0-492a-8faa-f862198156aa)

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить 3 камня, добавить 6 камней или увеличить количество камней в 2 раза, при этом нельзя повторять последний ход соперника. Игра завершается в тот момент, когда количество камней в куче становится более 40. Победителем считается игрок, сделавший последний ход. В начальный момент в куче было S камней, 2 ≤ S ≤ 36. Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника. Укажите такое максимальное допустимое значение S, при котором Петя не может выиграть за один ход, но при любом ходе Пети Ваня может выиграть своим первым ходом.

Задание 20 (83f0c5ff-0194-45fa-9f44-4bf7398f393f)

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить 3 камня, добавить 6 камней или увеличить количество камней в 2 раза, при этом нельзя повторять последний ход соперника. Игра завершается в тот момент, когда количество камней в куче становится более 40. Победителем считается игрок, сделавший последний ход. В начальный момент в куче было S камней, 2 ≤ S ≤ 36. Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника. Найдите максимальное значение S, при котором у Пети есть выигрышная стратегия, причём одновременно выполняются два условия: * Петя не может выиграть за один ход; * Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня. Напиши одно значение в поле.

Задание 21 (c4257056-2d68-48bd-962f-a6a76b157538)

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить 3 камня, добавить 6 камней или увеличить количество камней в 2 раза, при этом нельзя повторять последний ход соперника. Игра завершается в тот момент, когда количество камней в куче становится более 40. Победителем считается игрок, сделавший последний ход. В начальный момент в куче было S камней, 2 ≤ S ≤ 36. Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника. Найдите минимальное и максимальное значения S, при котором одновременно выполняются два условия: * у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети; * у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом. В ответе укажите два числа: сначала минимальное значение, затем максимальное.

Связка 42

Одна куча камней task_series_id: 1a4920e0-047b-4e40-9e3c-cee955838e18

Задание 19 (d666473a-26fb-4400-ad4b-5dcc9ff31985)

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. Игрокам доступны следующие ходы: * Уменьшить количество камней в три раза, * Убрать из кучи 10 камней. Например, из кучи из 25 камней можно получить кучу из 8 или 15 камней. В таком случае результат кратного уменьшения округляется вниз (берётся целая часть). Игра завершается в тот момент, когда количество камней в куче становится не более 10. Победителем считается игрок, совершивший последний ход. В начальный момент в куче было S камней; 11 ≤ S ≤ 200. Известно, что Ваня выиграл своим первым ходом после неудачного хода Пети. При каком максимальном значении S такое возможно?

Задание 20 (0e39fd59-87d4-4451-8ee3-4abaf2ae445d)

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. Игрокам доступны следующие ходы: * Уменьшить количество камней в три раза, * Убрать из кучи 10 камней Например, из кучи из 25 камней можно получить кучу из 8 или 15 камней. В таком случае результат кратного уменьшения округляется вниз (берется целая часть). Игра завершается в тот момент, когда количество камней в куче становится не более 10. Победителем считается игрок, совершивший последний ход. В начальный момент в куче было S камней; 11 ≤ S ≤ 200. Будем говорить, что игрок имеет *выигрышную стратегию*, если он может выиграть при любых ходах противника. Петя имеет выигрышную стратегию. Укажите минимальное и максимальное значения S, при которых: * Петя не может победить первым ходом; * при любом ходе Вани Петя побеждает своим вторым ходом.

Задание 21 (7d8eb8b0-50b7-4255-b569-fef03aa33d3e)

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. Игрокам доступны следующие ходы: * Уменьшить количество камней в три раза, * Убрать из кучи 10 камней Например, из кучи из 25 камней можно получить кучу из 8 или 15 камней. В таком случае результат кратного уменьшения округляется вниз (берется целая часть). Игра завершается в тот момент, когда количество камней в куче становится не более 10. Победителем считается игрок, совершивший последний ход. В начальный момент в куче было S камней; 11 ≤ S ≤ 200. Будем говорить, что игрок имеет *выигрышную стратегию*, если он может выиграть при любых ходах противника. Ваня имеет выигрышную стратегию за один или два хода, при этом не имеет выигрышной стратегии в один ход. Сколько существует значений S, при которых такая стратегия может быть реализована.

Связка 43

Одна куча камней task_series_id: 37c80420-5003-488e-8c54-f2d444cde78d

Задание 19 (9f0ed060-711a-4b44-b245-0d7095166662)

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может убрать из кучи 5 камней или уменьшить количество камней в 3 раза. Если количество камней некратно 3, то в результате хода "уменьшить в 3 раза" остается количество камней равное результату целочисленного деления текущего количества на 3. Например, из кучи из 19 камней можно получить кучу из 14 камней или кучу из 6 камней. Ход разрешается делать только в том случае, если количества камней в куче достаточно для его совершения. Игра завершается в тот момент, когда из кучи убирается последний камень. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, т.е. убравший из кучи последний камень. В начальный момент в куче было S камней; S > 0. Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника. Укажите максимальное значение S, при котором Петя не может выиграть за один ход, но при любом ходе Пети Ваня может выиграть своим первым ходом.

Задание 20 (effe4fb0-c66b-490a-969e-8dd4a8b71a08)

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может убрать из кучи 5 камней или уменьшить количество камней в 3 раза. Если количество камней некратно 3, то в результате хода «уменьшить в 3 раза» остается количество камней равное результату целочисленного деления текущего количества на 3. Например, из кучи из 19 камней можно получить кучу из 14 камней или кучу из 6 камней. Ход разрешается делать только в том случае, если количества камней в куче достаточно для его совершения. Игра завершается в тот момент, когда из кучи убирается последний камень. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, т. е. убравший из кучи последний камень. В начальный момент в куче было S камней; S > 0. Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника. Найдите наименьшее и наибольшее значения S, при которых у Пети есть выигрышная стратегия, причём одновременно выполняются два условия: * Петя не может выиграть за один ход; * Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня. Найденные значения запишите в ответе в порядке возрастания.

Задание 21 (f625d6c2-35dc-404c-955c-63e0408a9fe9)

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может убрать из кучи 5 камней или уменьшить количество камней в 3 раза. Если количество камней некратно 3, то в результате хода «уменьшить в 3 раза» остается количество камней равное результату целочисленного деления текущего количества на 3. Например, из кучи из 19 камней можно получить кучу из 14 камней или кучу из 6 камней. Ход разрешается делать только в том случае, если количества камней в куче достаточно для его совершения. Игра завершается в тот момент, когда из кучи убирается последний камень. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, т. е. убравший из кучи последний камень. В начальный момент в куче было S камней; S > 0. Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника. Найдите максимальное значение S, при котором одновременно выполняются два условия: * у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети; * у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом.

Связка 44

Одна куча камней task_series_id: 3bd65f8a-e8ca-4314-ae48-fb58e2e4d991

Задание 19 (63ab852c-00e7-42da-a78b-8d2d8572bc5c)

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в кучу один камень либо увеличить количество камней в куче в два раза. Для того чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество камней. Игра завершается в тот момент, когда количество камней в куче становится не менее 62. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, т. е. первым получивший в куче 62 или больше камней. В начальный момент в куче было S камней; 1 ≤ S ≤ 61. Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника. Укажите такое значение S, при котором Петя не может выиграть за один ход, но при любом ходе Пети Ваня может выиграть своим первым ходом.

Задание 20 (7a067411-8ad1-4fd4-8632-c1f081217353)

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в кучу один камень либо увеличить количество камней в куче в два раза. Для того чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество камней. Игра завершается в тот момент, когда количество камней в куче становится не менее 62. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, т. е. первым получивший в куче 62 или больше камней. В начальный момент в куче было S камней; 1 ≤ S ≤ 61. Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника. Определите два таких минимальных значения S, при которых у Пети есть выигрышная стратегия, причём одновременно выполняются два условия: - Петя не может выиграть за один ход; - Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня. Найденные значения запишите в ответе в порядке возрастания.

Задание 21 (f9473afd-c068-4d67-9046-bd3290950a32)

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в кучу один камень либо увеличить количество камней в куче в два раза. Для того чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество камней. Игра завершается в тот момент, когда количество камней в куче становится не менее 62. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, т. е. первым получивший в куче 62 или больше камней. В начальный момент в куче было S камней; 1 ≤ S ≤ 61. Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника. Найдите значение S, при котором одновременно выполняются два условия: - у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети; - у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом.

Связка 45

Одна куча камней task_series_id: 3c28837c-ccd3-4851-be04-330581d05be1

Задание 19 (c254ed12-0cc4-4aee-9272-d374d9d2fbaf)

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в кучу один камень, добавить два камня или увеличить количество камней в куче в два раза. Например, если в начале игры в куче 3 камня, Петя может первым ходом получить кучу из 4, 5 или 6 камней. Общий запас игроков составляет 50 камней (включая те, что уже лежат в куче). Например, если в куче уже есть 30 камней, то следующим ходом выполнять удвоение нельзя — камней не хватит. Игра завершается, когда количество камней в куче становится не менее 41. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший кучу, в которой будет 41 или больше камней. В начальный момент в куче было S камней, 1 ≤ S ≤ 40. Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника. Укажите такое значение S, при котором у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть вторым ходом при любой игре Пети, но у Вани нет стратегии, которая позволяла бы ему гарантированно выиграть первым ходом.

Задание 20 (f95873fc-53c6-48b9-9015-b6481a807d28)

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в кучу один камень, добавить два камня или увеличить количество камней в куче в два раза. Например, если в начале игры в куче 3 камня, Петя может первым ходом получить кучу из 4, 5 или 6 камней. Общий запас игроков составляет 50 камней (включая те, что уже лежат в куче). Например, если в куче уже есть 30 камней, то следующим ходом выполнять удвоение нельзя – камней не хватит. Игра завершается, когда количество камней в куче становится не менее 41. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший кучу, в которой будет 41 или больше камней. В начальный момент в куче было S камней, 1 ≤ S ≤ 40. Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника. Укажите два значения S, при которых у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть третьим ходом при любой игре Пети, но у Вани нет стратегии, которая позволяла бы ему гарантированно выиграть первым или вторым ходом. В ответе запишите найденные значения в порядке возрастания: сначала меньшее, затем большее.

Задание 21 (1bd546cc-a14f-472e-b2f9-687dea2a4f60)

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в кучу один камень, добавить два камня или увеличить количество камней в куче в два раза. Например, если в начале игры в куче 3 камня, Петя может первым ходом получить кучу из 4, 5 или 6 камней. Общий запас игроков составляет 50 камней (включая те, что уже лежат в куче). Например, если в куче уже есть 30 камней, то следующим ходом выполнять удвоение нельзя – камней не хватит. Игра завершается, когда количество камней в куче становится не менее 41. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший кучу, в которой будет 41 или больше камней. В начальный момент в куче было S камней, 1 ≤ S ≤ 40. Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника. Найдите такое значение S, при котором у Пети нет стратегии, позволяющей ему гарантированно выиграть первым ходом, но у Пети есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть вторым ходом при любой игре Вани, и при этом у Пети есть два разных первых хода, обеспечивающих выигрыш вторым ходом.

Связка 46

Одна куча камней task_series_id: 46ebc5c6-ed72-4cd4-9839-4ddb2732a30f

Задание 19 (00986fb4-4cf9-41ea-b005-8bc97faabca7)

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может: - убрать из кучи $3$ камня; - убрать из кучи $5$ камней; - уменьшить количество камней в куче в $4$ раза (количество камней, полученное при делении, округляется до меньшего). Например, из кучи в $20$ камней за один ход можно получить кучу из $17$, $15$ или $5$ камней. Игра завершается, когда количество камней в куче становится не более $30$. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший кучу из $30$ или менее камней. В начальный момент в куче было $S$ камней, $S \geq 31$. Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника. Укажите **минимальное** значение $S$, при котором Петя не может выиграть за один ход, но при любом ходе Пети Ваня может выиграть своим первым ходом.

Задание 20 (25db9244-ac38-46cf-9be5-84254bceaecd)

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может: - убрать из кучи $3$ камня; - убрать из кучи $5$ камней; - уменьшить количество камней в куче в $4$ раза (количество камней, полученное при делении, округляется до меньшего). Например, из кучи в $20$ камней за один ход можно получить кучу из $17$, $15$ или $5$ камней. Игра завершается, когда количество камней в куче становится не более $30$. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший кучу из $30$ или менее камней. В начальный момент в куче было $S$ камней, $S \geq 31$. Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника. Найдите два наименьших значения $S$, при которых у Пети есть выигрышная стратегия, причём одновременно выполняются два условия: - Петя не может выиграть за один ход; - Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня. Найденные значения запишите в ответе в порядке возрастания.

Задание 21 (5824633b-ccf6-412a-9f51-afc180ccff02)

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может: - убрать из кучи $3$ камня; - убрать из кучи $5$ камней; - уменьшить количество камней в куче в $4$ раза (количество камней, полученное при делении, округляется до меньшего). Например, из кучи в $20$ камней за один ход можно получить кучу из $17$, $15$ или $5$ камней. Игра завершается, когда количество камней в куче становится не более $30$. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший кучу из $30$ или менее камней. В начальный момент в куче было $S$ камней, $S \geq 31$. Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника. Найдите минимальное значение $S$, при котором одновременно выполняются два условия: - у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети; - у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом.

Связка 47

Одна куча камней task_series_id: 4ffdf0e4-39bb-4e65-8f76-e4f034f49267

Задание 19 (5bda4987-3738-4a08-a651-9823e7b0a884)

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в кучу **два** или **четыре** камня либо увеличить количество камней в куче **в три раза**. Для того чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество камней. Игра завершается в тот момент, когда количество камней в куче становится не менее 348. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, т.е. первым получивший кучу из 348 или больше камней. В начальный момент в куче было S камней; 1 ≤ S ≤ 347. Будем говорить, что игрок имеет *выигрышную* стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника. Известно, что Ваня выиграл своим первым ходом после неудачного первого хода Пети. Укажите **минимальное** значение S, когда такая ситуация возможна.

Задание 20 (34646cdd-b7ef-4233-a2b0-c7df3989e5de)

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в кучу **два** или **четыре** камня либо увеличить количество камней в куче **в три** **раза**. Для того чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество камней. Игра завершается в тот момент, когда количество камней в куче становится не менее 348. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, т.е. первым получивший кучу из 348 или больше камней. В начальный момент в куче было S камней; 1 ≤ S ≤ 347. Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника. Найдите два **минимальных** значения S, при которых у Пети есть выигрышная стратегия, причём одновременно выполняются два условия: * Петя не может выиграть за один ход; * Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня. Найденные значения запишите в ответе в порядке возрастания.

Задание 21 (e9d8fc21-07b4-4117-a12a-ddc5777fb87c)

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в кучу **два** или **четыре** камня либо увеличить количество камней в куче **в три раза**. Для того чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество камней. Игра завершается в тот момент, когда количество камней в куче становится не менее 348. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, т. е. первым получивший кучу из 348 или больше камней. В начальный момент в куче было S камней; 1 ≤ S ≤ 347. Будем говорить, что игрок имеет *выигрышную* стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника. Найдите **минимальное** значение S, при котором одновременно выполняются два условия: * у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети; * у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом. Если найдено несколько значений S, в ответе запишите наименьшее из них.

Связка 48

Одна куча камней task_series_id: 5496720d-16ed-4108-bdf8-f44c73900983

Задание 19 (6d04f9ab-73d2-48b8-af41-e23d3de2abfa)

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в кучу три камня либо увеличить количество камней в куче в пять раз. Для того чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество камней. Игра завершается в тот момент, когда количество камней в куче становится не менее 301. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, т. е. первым получивший кучу, состоящую из 301 или более камней. В начальный момент в куче было S камней; 1 ≤ S ≤ 300. Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника. Укажите наименьшее значение S, при котором Петя не может выиграть за один ход, но при любом ходе Пети Ваня может выиграть своим первым ходом.

Задание 20 (3fcbf8cb-c80b-4b49-aa09-5d30c3fb6dd2)

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в кучу три камня либо увеличить количество камней в куче в пять раз. Для того чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество камней. Игра завершается в тот момент, когда количество камней в куче становится не менее 301. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, т.е. первым получивший кучу, состоящую из 301 или более камней. В начальный момент в куче было S камней; 1 ≤ S ≤ 300. Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника. Найдите два наименьших значения S, при которых у Пети есть выигрышная стратегия, причём одновременно выполняются два условия: - Петя не может выиграть за один ход; - Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня. Найденные значения запишите в ответе в порядке возрастания.

Задание 21 (4fd44f61-2956-48a8-83e1-ef015953152b)

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в кучу три камня либо увеличить количество камней в куче в пять раз. Для того чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество камней. Игра завершается в тот момент, когда количество камней в куче становится не менее 301. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, т.е. первым получивший кучу, состоящую из 301 или более камней. В начальный момент в куче было S камней; 1 ≤ S ≤ 300. Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника. Найдите минимальное значение S, при котором одновременно выполняются два условия: - у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети; - у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом.

Связка 49

Одна куча камней task_series_id: 611a4d33-030c-46a3-815e-a8d2f75cb39c

Задание 19 (0bfd7b66-49d1-49de-9317-d8d5b2ec8fd3)

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может увеличить количество камней в куче на 1, 3 или 7. Игра завершается в тот момент, когда количество камней в куче становится ровно 42. Игрок, первым получивший кучу из 42 камней, считается победителем. Игрок получивший после своего хода более 42 камней считается проигравшим и победителю засчитывается ход в 42. Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника. Укажите такое минимальное значение S, при котором Петя не может выиграть за один ход, но при любом ходе Пети Ваня может выиграть своим первым ходом.

Задание 20 (036dc9d7-9ce0-4793-bfd9-1b3f6e91233c)

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может увеличить количество камней в куче на 1, 3 или 7. Игра завершается в тот момент, когда количество камней в куче становится ровно 42. Игрок, первым получивший кучу из 42 камней, считается победителем. Игрок получивший после своего хода более 42 камней считается проигравшим и победителю засчитывается ход в 42. Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника. Найдите два наименьших значения S, при которых у Пети есть выигрышная стратегия, причём одновременно выполняются два условия: * Петя не может выиграть за один ход; * Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня. Найденные значения запишите в ответе в порядке возрастания.

Задание 21 (785e1906-1f8c-42bd-9ab2-879d54b4e798)

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может увеличить количество камней в куче на 1, 3 или 7. Игра завершается в тот момент, когда количество камней в куче становится ровно 42. Игрок, первым получивший кучу из 42 камней, считается победителем. Игрок получивший после своего хода более 42 камней считается проигравшим и победителю засчитывается ход в 42. Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника. Найдите два наименьших значение S, при котором одновременно выполняются два условия: * у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети; * у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом. Найденные значения запишите в ответе в порядке возрастания через пробел.

Связка 50

Одна куча камней task_series_id: 61abd7dd-13f7-4424-8e10-d57ad4cd1e4d

Задание 19 (291a7565-6d1b-4b88-8ef5-72a6ddee2bf5)

Два игрока, **Петя** и **Ваня**, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может: - убрать из кучи **два** камня; - убрать из кучи **пять** камней; - уменьшить количество камней в куче в **три** раза (количество камней, полученное при делении, округляется до меньшего). Например, из кучи в 20 камней за один ход можно получить кучу из 18, 15 или 6 камней. Игра завершается, когда количество камней в куче становится не более 19. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший кучу, в которой будет 19 или меньше камней. В начальный момент в куче было $S$ камней, $S \geq 20$. Будем говорить, что игрок имеет *выигрышную стратегию*, если он может выиграть при любых ходах противника. Укажите минимальное значение $S$, при котором Петя не может выиграть за один ход, но при любом ходе Пети Ваня может выиграть своим первым ходом.

Задание 20 (70c5e156-7106-4461-a91f-3211195abe4a)

Два игрока, **Петя** и **Ваня**, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может: - убрать из кучи **два** камня; - убрать из кучи **пять** камней; - уменьшить количество камней в куче в **три** раза (количество камней, полученное при делении, округляется до меньшего). Например, из кучи в 20 камней за один ход можно получить кучу из 18, 15 или 6 камней. Игра завершается, когда количество камней в куче становится не более 19. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший кучу, в которой будет 19 или меньше камней. В начальный момент в куче было $S$ камней, $S \geq 20$. Будем говорить, что игрок имеет *выигрышную стратегию*, если он может выиграть при любых ходах противника. Найдите два наименьших значения $S$, при которых у Пети есть выигрышная стратегия, причём одновременно выполняются два условия: - Петя не может выиграть за один ход; - Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня. Найденные значения запишите в ответе в порядке возрастания.

Задание 21 (b4950455-13c7-40b8-af23-a1abe0db7a7e)

Два игрока, **Петя** и **Ваня**, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может: - убрать из кучи **два** камня; - убрать из кучи **пять** камней; - уменьшить количество камней в куче в **три** раза (количество камней, полученное при делении, округляется до меньшего). Например, из кучи в 20 камней за один ход можно получить кучу из 18, 15 или 6 камней. Игра завершается, когда количество камней в куче становится не более 19. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший кучу, в которой будет 19 или меньше камней. В начальный момент в куче было $S$ камней, $S \geq 20$. Будем говорить, что игрок имеет *выигрышную стратегию*, если он может выиграть при любых ходах противника. Найдите минимальное значение $S$, при котором одновременно выполняются два условия: - у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети; - у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом.

Связка 51

Одна куча камней task_series_id: 61e751f8-01fd-4395-9883-ffb6068dc736

Задание 19 (d022680a-b829-4295-82e2-264a5c8c3df2)

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в кучу два или четыре камня, либо увеличить количество камней в куче в три раза. У каждого игрока есть неограниченное количество камней, чтобы делать ходы. Игра завершается в тот момент, когда количество камней в куче становится не менее 82. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, т. е. первым получивший кучу из 82 или более камней. В начальный момент в куче было S камней; 1 ≤ S ≤ 81. Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника. Укажите минимальное значение S, при котором Ваня может выиграть своим первым ходом после неудачного хода Пети.

Задание 20 (f6d9956e-02ca-4847-b7c3-c82a2d86ac35)

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в кучу два или четыре камня, либо увеличить количество камней в куче в три раза. У каждого игрока есть неограниченное количество камней, чтобы делать ходы. Игра завершается в тот момент, когда количество камней в куче становится не менее 82. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, т. е. первым получивший кучу из 82 или более камней. В начальный момент в куче было S камней; 1 ≤ S ≤ 81. Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника. Найдите два наименьших значения S, при котором у Пети есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть вторым ходом, при этом он не может гарантированно выиграть за один ход.

Задание 21 (7435f35c-a040-489c-804f-5ee3f3b463ab)

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в кучу два или четыре камня, либо увеличить количество камней в куче в три раза. У каждого игрока есть неограниченное количество камней, чтобы делать ходы. Игра завершается в тот момент, когда количество камней в куче становится не менее 82. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, т.е. первым получивший кучу из 82 или более камней. В начальный момент в куче было S камней; 1 ≤ S ≤ 81. Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника. Найдите наибольшее значение S, при котором одновременно выполняются два условия: * у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети; * у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом.

Связка 52

Одна куча камней task_series_id: 65b7fc92-b0f7-4f97-bfee-484d32eadebe

Задание 19 (81463004-8997-46b4-803b-0b7b8c18343b)

Задание 20 (5e47018c-6274-48c3-b49a-b3add35847eb)

Два игрока, Алиса и Боб, играют в игру с кучей монет. Алиса ходит первой. За один ход игрок может либо добавить одну монету в кучу, либо утроить количество монет в куче. Игра завершается, когда в куче становится 200 или больше монет. Победителем считается игрок, сделавший последний ход. В начальный момент в куче $M$ монет, $1\le M < 200$. Найдите два наименьших значения $M$, при которых у Алисы есть выигрышная стратегия, причём одновременно выполняются два условия: 1. Алиса не может выиграть за один ход; 2. Алиса может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Боб. Найденные значения запишите в ответе в порядке возрастания.

Задание 21 (ff10a74a-987b-4264-8ec7-97c5f057c92c)

Два игрока, Алиса и Боб, играют в игру с кучей монет. Алиса ходит первой. За один ход игрок может либо добавить одну монету в кучу, либо утроить количество монет в куче. Игра завершается, когда в куче становится 200 или больше монет. Победителем считается игрок, сделавший последний ход. В начальный момент в куче $M$ монет, $1\le M < 200$. Найдите минимальное значение M, при котором одновременно выполняются два условия: 1. У Боба есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Алисы; 2. У Боба нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом. Если найдено несколько значений M, в ответе запишите минимальное из них.

Связка 53

Одна куча камней task_series_id: 66d382a2-b54a-4db1-bdcc-6d48376eecdb

Задание 19 (0486381e-2685-47c6-a971-c40e50550dc4)

Петя и Ваня решили поиграть. Перед ними лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в кучу **три камня, пять камней или увеличить количество камней в куче в три раза**. Для того чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество камней. Игра завершается в тот момент, когда количество камней в куче становится не менее **97**. Если при этом количество камней в куче не превышает **105**, победителем считается игрок, который сделал последний ход. В противном случае победителем становится его противник, при этом считается, что противник сделал ход. В начальный момент в куче было $S$ камней, $1 \leq S \leq 96$. Будем говорить, что у игрока выигрышная стратегия, если он может выиграть при любых ходах противника. Укажите максимальное значение $S$, при котором Петя не может выиграть за один ход, но при любом ходе Пети Ваня может выиграть своим первым ходом.

Задание 20 (78604e48-2390-46cc-802f-253389c4029e)

Петя и Ваня решили поиграть. Перед ними лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в кучу **три камня, пять камней или увеличить количество камней в куче в три раза**. Для того чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество камней. Игра завершается в тот момент, когда количество камней в куче становится не менее **97**. Если при этом количество камней в куче не превышает **105**, победителем считается игрок, который сделал последний ход. В противном случае победителем становится его противник, при этом считается, что противник сделал ход. В начальный момент в куче было $S$ камней, $1 \leq S \leq 96$. Будем говорить, что у игрока выигрышная стратегия, если он может выиграть при любых ходах противника. Найдите наименьшее и наибольшее значения S, при которых у Пети есть выигрышная стратегия, причём одновременно выполняются два условия: * Петя не может выиграть за один ход * Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня Найденные значения запишите в ответе в порядке возрастания.

Задание 21 (64e08e1e-eb22-440c-a258-0016c85aee3f)

Петя и Ваня решили поиграть. Перед ними лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в кучу **три камня, пять камней или увеличить количество камней в куче в три раза**. Для того чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество камней. Игра завершается в тот момент, когда количество камней в куче становится не менее **97**. Если при этом количество камней в куче не превышает **105**, победителем считается игрок, который сделал последний ход. В противном случае победителем становится его противник, при этом считается, что противник сделал ход. В начальный момент в куче было $S$ камней, $1 \leq S \leq 96.$. Будем говорить, что у игрока выигрышная стратегия, если он может выиграть при любых ходах противника. Определите количество S, при которых одновременно выполняются два условия: * у Вани есть выигрышная стратегия, которая позволяет ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети * у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом В ответ укажите количество найденных значений.

Связка 54

Одна куча камней task_series_id: 70c1b760-f436-44d3-90ca-18ede3ff2174

Задание 19 (d80cd974-3163-450f-8164-55989c90519c)

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в кучу **от двух до четырёх камней или увеличить количество камней в куче в два раза**. Для того чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество камней. Игра завершается в тот момент, когда количество камней в куче становится не менее 229. Победителем считается игрок, который сделал последний ход, т. е. тот, кто первым получил кучу из 229 камней (или набрал больше). В начальный момент в куче было $S$ камней, $1 \leq S \leq 228.$ Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника. Укажите минимальное значение $S$, при котором Петя не может выиграть за один ход, но при любом ходе Пети Ваня может выиграть своим первым ходом.

Задание 20 (4b6f9d09-3fcc-4b43-97a0-31fb476732b9)

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в кучу **от двух до четырёх камней или увеличить количество камней в куче в два раза**. Для того чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество камней. Игра завершается в тот момент, когда количество камней в куче становится не менее 229. Победителем считается игрок, который сделал последний ход, т. е. тот, кто первым получил кучу из 229 камней (или набрал больше). В начальный момент в куче было $S$ камней, $1 \leq S \leq 228.$ Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника. Найдите наименьшее и наибольшее значения S, при которых у Пети есть выигрышная стратегия, причём одновременно выполняются два условия: - Петя не может выиграть за один ход - Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня Найденные значения запишите в ответе в порядке возрастания.

Задание 21 (fd2e187b-7c5c-4a25-9e8c-50c35b48f3d5)

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в кучу **от двух до четырёх камней или увеличить количество камней в куче в два раза**. Для того чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество камней. Игра завершается в тот момент, когда количество камней в куче становится не менее 229. Победителем считается игрок, который сделал последний ход, т. е. тот, кто первым получил кучу из 229 камней (или набрал больше). В начальный момент в куче было $S$ камней, $1 \leq S \leq 228.$ Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника. Найдите минимальное значение $S$, при котором одновременно выполняются два условия: - у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети - у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом

Связка 55

Одна куча камней task_series_id: 7809ac21-17ff-46bf-8d17-66c63b1da5f2

Задание 19 (404329ca-3043-4e6b-be09-69dd16117e4b)

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может: * убрать из кучи 3 камня; * убрать из кучи 6 камней; * уменьшить количество камней в куче в 3 раза (количество камней, полученное при делении, округляется до меньшего). Например, из кучи в 20 камней за один ход можно получить кучу из 17, 14 или 6 камней. Игра завершается, когда количество камней в куче становится не более 27. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший кучу из 27 или менее камней. В начальный момент в куче было $S$ камней, $S \ge 28$. Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника. Укажите **минимальное** значение $S$, при котором Петя не может выиграть за один ход, но при любом ходе Пети Ваня может выиграть своим первым ходом.

Задание 20 (7ebcf971-67ec-457c-90a0-3cea7631b2ee)

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может: * убрать из кучи 3 камня; * убрать из кучи 6 камней; * уменьшить количество камней в куче в 3 раза (количество камней, полученное при делении, округляется до меньшего). Например, из кучи в 20 камней за один ход можно получить кучу из 17, 14 или 6 камней. Игра завершается, когда количество камней в куче становится не более 27. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший кучу из 27 или менее камней. В начальный момент в куче было $S$ камней, $S \ge 28$. Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника. Найдите два **наименьших** значения $S$, при которых у Пети есть выигрышная стратегия, причём одновременно выполняются два условия: * Петя не может выиграть за один ход; * Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня. Найденные значения запишите в ответе в порядке возрастания.

Задание 21 (eae3f621-8f59-4ccf-8e98-0ad1142be209)

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может: * убрать из кучи 3 камня; * убрать из кучи 6 камней; * уменьшить количество камней в куче в 3 раза (количество камней, полученное при делении, округляется до меньшего). Например, из кучи в 20 камней за один ход можно получить кучу из 17, 14 или 6 камней. Игра завершается, когда количество камней в куче становится не более 27. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший кучу из 27 или менее камней. В начальный момент в куче было $S$ камней, $S \ge 28$. Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника. Найдите **минимальное** значение $S$, при котором одновременно выполняются два условия: * у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети; * у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом.

Связка 56

Одна куча камней task_series_id: 7bab0fff-b55e-475c-8894-6d590eb4de86

Задание 19 (7a1b7bdb-6f93-4e4d-9cf2-cde40275634f)

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может убрать из кучи один камень или уменьшить количество камней в куче в два раза (если в куче нечётное количество камней, сделать такой ход нельзя). Игра завершается в тот момент, когда количество камней в куче становится не более 12. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, т. е. первым получивший кучу из 12 или менее камней. В начальный момент в куче было S камней, 13 ≤ S. Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника. Укажите такое максимальное допустимое значение S, при котором Петя не может выиграть за один ход, но при любом ходе Пети Ваня может выиграть своим первым ходом.

Задание 20 (a7143c7c-48ab-4478-bbc7-070299b2748f)

Задание 21 (b372168c-728a-439f-a966-1e4791fe90fa)

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может убрать из кучи один камень или уменьшить количество камней в куче в два раза (если в куче нечётное количество камней, сделать такой ход нельзя). Игра завершается в тот момент, когда количество камней в куче становится не более 12. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, т. е. первым получивший кучу из 12 или менее камней. В начальный момент в куче было S камней, 13 ≤ S. Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника. Найдите минимальное и максимальное значения S, при котором одновременно выполняются два условия: * у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети; * у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом. В ответе укажите два числа: сначала минимальное значение, затем максимальное.

Связка 57

Одна куча камней task_series_id: 7ea68c31-6987-435e-8f38-95ec64d992c4

Задание 19 (e6298635-580f-4f38-936d-4afe47fee50c)

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в кучу один камень или увеличить количество камней в два раза. У каждого игрока есть неограниченное количество камней, чтобы делать ходы. Игра завершается в тот момент, когда количество камней в куче становится не менее 52. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, т. е. первым получивший кучу из 52 или более камней. В начальный момент в куче было *S* камней; *1 ≤ S ≤ 51*. Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника. Укажите минимальное значение *S*, при котором Петя выигрывает первым ходом.

Задание 20 (2cc88148-775c-414a-9f8c-3391bfa5fe73)

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в кучу один камень или увеличить количество камней в два раза. У каждого игрока есть неограниченное количество камней, чтобы делать ходы. Игра завершается в тот момент, когда количество камней в куче становится не менее 52. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, т. е. первым получивший кучу из 52 или более камней. В начальный момент в куче было *S* камней; *1 ≤ S ≤ 51*. Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника. Найдите наименьшее значение *S*, при котором у Ваня выигрывает после неудачного хода Пети.

Задание 21 (f53825cb-2641-48ac-ac1f-d3545c7866e8)

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в кучу один камень или увеличить количество камней в два раза. У каждого игрока есть неограниченное количество камней, чтобы делать ходы. Игра завершается в тот момент, когда количество камней в куче становится не менее 52. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, т. е. первым получивший кучу из 52 или более камней. В начальный момент в куче было *S* камней; *1 ≤ S ≤ 51*. Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника. Найдите наибольшее значение *S*, при котором у Пети есть выигрышная стратегия, причём одновременно выполняются два условия: * Петя не может выиграть за один ход; * Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня.

Связка 58

Одна куча камней task_series_id: 7fe38a38-17aa-4af2-a616-5aef83ce885d

Задание 19 (745a1abe-b282-4d35-8005-8cca2df7bcc2)

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может а) добавить в кучу один камень; б) добавить в кучу два камня; в) добавить в кучу три камня; г) увеличить количество камней в куче в два раза. Игра завершается в тот момент, когда количество камней в куче превышает 33. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший кучу, в которой будет 34 или больше камней. В начальный момент в куче было S камней, $1 ⩽ S ⩽ 33$. Найдите значение S, при котором Ваня выигрывает своим первым ходом при любой игре Пети.

Задание 20 (7b609d6b-9eae-4b36-9a10-0249923fdf2d)

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может а) добавить в кучу один камень; б) добавить в кучу два камня; в) добавить в кучу три камня; г) увеличить количество камней в куче в два раза. Игра завершается в тот момент, когда количество камней в куче превышает 33. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший кучу, в которой будет 34 или больше камней. В начальный момент в куче было S камней, $1~⩽~S~⩽~33$. Найдите минимальное и максимальное значение S, при котором у Пети есть выигрышная стратегия, причём одновременно выполняются два условия: - Петя не может выиграть за один ход; - Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня. Найденные значения запишите в ответе в порядке возрастания.

Задание 21 (4909f1e1-621c-4fdb-b99f-50b55ba94083)

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может а) добавить в кучу один камень; б) добавить в кучу два камня; в) добавить в кучу три камня; г) увеличить количество камней в куче в два раза. Игра завершается в тот момент, когда количество камней в куче превышает 33. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший кучу, в которой будет 34 или больше камней. В начальный момент в куче было S камней, $1~⩽~S~⩽~33$. Найдите значение S, при котором одновременно выполняются два условия: - у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети; - у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом.

Связка 59

Одна куча камней task_series_id: 8426f45e-3923-40f7-8ec1-a60649e1b6e2

Задание 19 (6f386a98-145d-41a2-910b-5a1aaaa6705f)

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в кучу один камень, увеличить количество камней в куче в два раза, если оно нечётное, или в полтора раза, если оно чётное. Например, если в куче 5 камней, то за один ход можно получить 6 или 10 камней, а если в куче 6 камней, то за один ход можно получить 7 или 9 камней. Игра завершается, когда количество камней в куче достигает 84. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший кучу, в которой будет 84 или больше камней. В начале игры в куче было S камней, $1 ⩽ S ⩽ 83$. Укажите максимальное значение S, при котором Петя не может выиграть первым ходом, но при любом первом ходе Пети Ваня может выиграть своим первым ходом.

Задание 20 (5d522b60-36af-48b3-b471-16e545cfc622)

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в кучу один камень, увеличить количество камней в куче в два раза, если оно нечётное, или в полтора раза, если оно чётное. Например, если в куче 5 камней, то за один ход можно получить 6 или 10 камней, а если в куче 6 камней, то за один ход можно получить 7 или 9 камней. Игра завершается, когда количество камней в куче достигает 84. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший кучу, в которой будет 84 или больше камней. В начале игры в куче было S камней, $1 ⩽ S ⩽ 83$. Найдите два наименьших значения S, при которых Петя не может выиграть первым ходом, но у Пети есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть вторым ходом при любой игре Вани. В ответе запишите найденные значения в порядке возрастания.

Задание 21 (66f3c4ae-39a5-436a-aad0-b9854871f3e9)

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в кучу один камень, увеличить количество камней в куче в два раза, если оно нечётное, или в полтора раза, если оно чётное. Например, если в куче 5 камней, то за один ход можно получить 6 или 10 камней, а если в куче 6 камней, то за один ход можно получить 7 или 9 камней. Игра завершается, когда количество камней в куче достигает 84. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший кучу, в которой будет 84 или больше камней. В начале игры в куче было S камней, $1 ⩽ S ⩽ 83$. Найдите максимальное значение S, при котором у Вани есть стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети, но у Вани нет стратегии, которая позволила бы ему гарантированно выиграть первым ходом.

Связка 60

Одна куча камней task_series_id: 8c330e1d-380b-4b15-a7bf-06650b9f31b8

Задание 19 (f6327171-27a1-4e08-a164-399418a66f78)

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в кучу **один** камень или **три** камня или **одиннадцать** камней. Для того чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество камней. Игра завершается в тот момент, когда количество камней в куче становится числом, оканчивающимся на ноль. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, т. е. первым получивший кучу, количество камней в которой оканчивается на ноль. К примеру, игра заканчивается, когда в куче стало 1**0**, 20**0**, 680**0** камней. В начальный момент в куче было S камней. S — **двузначное** число, **не** оканчивающиеся на ноль. Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника. Укажите минимальное значение S, при котором Петя не может выиграть за один ход, но при любом ходе Пети Ваня может выиграть своим первым ходом.

Задание 20 (c1565026-c49a-4a81-b839-b28976fdb2fb)

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в кучу **один** камень или **три** камня или **одиннадцать** камней. Для того чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество камней. Игра завершается в тот момент, когда количество камней в куче становится числом, оканчивающимся на ноль. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, т. е. первым получивший кучу, количество камней в которой оканчивается на ноль. К примеру, игра заканчивается, когда в куче стало 1**0**, 20**0**, 680**0** камней. В начальный момент в куче было S камней. S — **двузначное** число, **не** оканчивающиеся на ноль. Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника. Найдите количество значений S, при которых у Пети есть выигрышная стратегия, причём одновременно - Петя не может выиграть за один ход; - Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня.

Задание 21 (7f0af4bd-b044-48f7-b2bc-d43e5e3f5ded)

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в кучу **один** камень или **три** камня или **одиннадцать** камней. Для того чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество камней. Игра завершается в тот момент, когда количество камней в куче становится числом, оканчивающимся на ноль. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, т. е. первым получивший кучу, количество камней в которой оканчивается на ноль. К примеру, игра заканчивается, когда в куче стало 1**0**, 20**0**, 680**0** камней. В начальный момент в куче было S камней. S — **двузначное** число, **не** оканчивающиеся на ноль. Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника. Найдите сумму значений S, при которых одновременно выполняются два условия: - у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети; - у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом.

Связка 61

Одна куча камней task_series_id: 9230f720-e5e3-4f23-afe7-56085029f7c9

Задание 19 (adcc322f-7666-40ea-a08d-14da0b8ecd05)

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в кучу **один** или **четыре** камня либо увеличить количество камней в куче **в три раза**. Для того чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество камней. Игра завершается в тот момент, когда количество камней в куче становится не менее 67. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, т. е. первым получивший кучу, состоящую из 67 или более камней. В начальный момент в куче было $S$ камней; $1 \leq S \leq 66$. Будем говорить, что игрок имеет *выигрышную стратегию*, если он может выиграть при любых ходах противника. Укажите такое значение $S$, при котором Петя не может выиграть за один ход, но при любом ходе Пети Ваня может выиграть своим первым ходом.

Задание 20 (2f4abe01-21ee-4bb8-afdf-ebca5606de8f)

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в кучу **один** или **четыре** камня либо увеличить количество камней в куче **в три раза**. Для того чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество камней. Игра завершается в тот момент, когда количество камней в куче становится не менее 67. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, т. е. первым получивший кучу, состоящую из 67 или более камней. В начальный момент в куче было $S$ камней; $1 \leq S \leq 66$. Будем говорить, что игрок имеет *выигрышную стратегию*, если он может выиграть при любых ходах противника. Найдите два таких **минимальных** значения $S$, при которых у Пети есть выигрышная стратегия, причём одновременно выполняются два условия: * Петя не может выиграть за один ход; * Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня. Найденные значения запишите в ответе в порядке возрастания.

Задание 21 (0b425052-0674-4a59-a55e-c1a76ba7db1e)

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в кучу **один** или **четыре** камня либо увеличить количество камней в куче **в три раза**. Для того чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество камней. Игра завершается в тот момент, когда количество камней в куче становится не менее 67. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, т. е. первым получивший кучу, состоящую из 67 или более камней. В начальный момент в куче было $S$ камней; $1 \leq S \leq 66$. Будем говорить, что игрок имеет *выигрышную стратегию*, если он может выиграть при любых ходах противника. Найдите **минимальное** значение $S$, при котором одновременно выполняются два условия: * у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети; * у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом. Если найдено несколько значений $S$, в ответе запишите наименьшее из них.

Связка 62

Одна куча камней task_series_id: 9565a274-5d53-4f01-b27e-bd23f61cef37

Задание 19 (771ed022-ed68-429c-8434-fbb63a449fb0)

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в кучу один камень, добавить два камня или увеличить количество камней в куче в два раза. Например, если в начале игры в куче 3 камня, Петя может первым ходом получить кучу из 4, 5 или 6 камней. Общий запас игроков составляет 50 камней (включая те, что уже лежат в куче). Например, если в куче уже есть 30 камней, то следующим ходом выполнять удвоение нельзя — камней не хватит. Игра завершается, когда количество камней в куче становится не менее 41. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший кучу, в которой будет 41 или больше камней. В начальный момент в куче было S камней, $1~⩽~S~⩽~40$ Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника. Укажите такое значение S, при котором у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть вторым ходом при любой игре Пети, но у Вани нет стратегии, которая позволяла бы ему гарантированно выиграть первым ходом.

Задание 20 (52e3b08d-1250-4893-a8bc-b58a732d2fb6)

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в кучу один камень, добавить два камня или увеличить количество камней в куче в два раза. Например, если в начале игры в куче 3 камня, Петя может первым ходом получить кучу из 4, 5 или 6 камней. Общий запас игроков составляет 50 камней (включая те, что уже лежат в куче). Например, если в куче уже есть 30 камней, то следующим ходом выполнять удвоение нельзя — камней не хватит. Игра завершается, когда количество камней в куче становится не менее 41. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший кучу, в которой будет 41 или больше камней. В начальный момент в куче было S камней, $1~⩽~S~⩽~40$ Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника. Укажите два значения S, при которых у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть третьим ходом при любой игре Пети, но у Вани нет стратегии, которая позволяла бы ему гарантированно выиграть первым или вторым ходом. В ответе запишите найденные значения в порядке возрастания: сначала меньшее, затем большее.

Задание 21 (a77d66ad-3b70-492e-ad35-a0f8709ff0d6)

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в кучу один камень, добавить два камня или увеличить количество камней в куче в два раза. Например, если в начале игры в куче 3 камня, Петя может первым ходом получить кучу из 4, 5 или 6 камней. Общий запас игроков составляет 50 камней (включая те, что уже лежат в куче). Например, если в куче уже есть 30 камней, то следующим ходом выполнять удвоение нельзя — камней не хватит. Игра завершается, когда количество камней в куче становится не менее 41. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший кучу, в которой будет 41 или больше камней. В начальный момент в куче было S камней, $1~⩽~S~⩽~40$ Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника. Найдите такое значение S, при котором у Пети нет стратегии, позволяющей ему гарантированно выиграть первым ходом, но у Пети есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть вторым ходом при любой игре Вани, и при этом у Пети есть два разных первых хода, обеспечивающих выигрыш вторым ходом.

Связка 63

Одна куча камней task_series_id: 97522364-1438-4aa7-9b0c-62a4085b1da9

Задание 19 (d2927e62-8200-470a-9690-40e5cf32a937)

Два игрока, Петя и Ваня, решили поиграть. Перед ними лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в кучу три камня или увеличить количество камней в куче в два или в три раза. Для того чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество камней. Игра завершается в тот момент, когда количество камней в куче становится не меньше 55. Если при этом камней оказалось не больше 77, победителем становится игрок, который сделал последний ход. В противном случае считается, что его соперник победил своим следующим ходом. В начальный момент в куче было S камней, 1 ≤ S ≤ 54. Будем говорить, что у игрока выигрышная стратегия, если он может выиграть при любых ходах противника. Укажите количество значений S, при которых Петя не может выиграть за один ход, но при любом ходе Пети Ваня может выиграть своим первым ходом.

Задание 20 (8c157757-70c8-48ba-beed-268989591701)

Два игрока, Петя и Ваня, решили поиграть. Перед ними лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в кучу три камня или увеличить количество камней в куче в два или в три раза. Для того чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество камней. Игра завершается в тот момент, когда количество камней в куче становится не меньше 55. Если при этом камней оказалось не больше 77, победителем становится игрок, который сделал последний ход. В противном случае считается, что его соперник победил своим следующим ходом. В начальный момент в куче было S камней, 1 ≤ S ≤ 54. Будем говорить, что у игрока выигрышная стратегия, если он может выиграть при любых ходах противника. Определите минимальное значение S, а также общее количество возможных значений S, при которых у Пети есть выигрышная стратегия, причём одновременно выполняются два условия: - Петя не может выиграть за один ход; - Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня.

Задание 21 (b81b6b89-5a88-4ce0-941d-061c99b6a316)

Два игрока, Петя и Ваня, решили поиграть. Перед ними лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в кучу три камня или увеличить количество камней в куче в два или в три раза. Для того чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество камней. Игра завершается в тот момент, когда количество камней в куче становится не меньше 55. Если при этом камней оказалось не больше 77, победителем становится игрок, который сделал последний ход. В противном случае считается, что его соперник победил своим следующим ходом. В начальный момент в куче было S камней, 1 ≤ S ≤ 54. Будем говорить, что у игрока выигрышная стратегия, если он может выиграть при любых ходах противника. Найдите максимальное значение S, при котором одновременно выполняются два условия: - у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети; - у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом.

Связка 64

Одна куча камней task_series_id: 9990a9f1-8add-4546-8300-b679ca892f20

Задание 19 (ac627f55-6259-4ef0-b2a1-6e5110289fbb)

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может: * убрать из кучи $1$ камень * убрать из кучи $3$ камня * уменьшить количество камней в куче в $2$ раза (количество камней, полученное при делении, округляется до меньшего) Например, из кучи в $20$ камней за один ход можно получить кучу из $19$, $17$ или $10$ камней. Игра завершается, когда количество камней в куче становится не более $37$. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший кучу из $37$ или менее камней. В начальный момент в куче было $S$ камней, $S \geq 38$. Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника. Укажите значение $S$, при котором Петя не может выиграть за один ход, но при любом ходе Пети Ваня может выиграть своим первым ходом.

Задание 20 (472794ac-a1c5-4545-9b3f-456f21f0aa7c)

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может: * убрать из кучи $1$ камень * убрать из кучи $3$ камня * уменьшить количество камней в куче в $2$ раза (количество камней, полученное при делении, округляется до меньшего) Например, из кучи в $20$ камней за один ход можно получить кучу из $19$, $17$ или $10$ камней. Игра завершается, когда количество камней в куче становится не более $37$. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший кучу из $37$ или менее камней. В начальный момент в куче было $S$ камней, $S \geq 38$. Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника. Найдите два наименьших значения $S$, при которых у Пети есть выигрышная стратегия, причём одновременно выполняются два условия: * Петя не может выиграть за один ход * Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня Найденные значения запишите в ответе в порядке возрастания.

Задание 21 (48907b7b-7272-4b4e-a364-ecbd3bf91bba)

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может: * убрать из кучи $1$ камень * убрать из кучи $3$ камня * уменьшить количество камней в куче в $2$ раза (количество камней, полученное при делении, округляется до меньшего) Например, из кучи в $20$ камней за один ход можно получить кучу из $19$, $17$ или $10$ камней. Игра завершается, когда количество камней в куче становится не более $37$. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший кучу из $37$ или менее камней. В начальный момент в куче было $S$ камней, $S \geq 38$. Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника. Найдите минимальное значение $S$, при котором одновременно выполняются два условия: * у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети * у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом

Связка 65

Одна куча камней task_series_id: 9fab3780-9aeb-43cf-984c-56bc789dfa98

Задание 19 (efd76278-94f0-4984-8575-176733d890d7)

Задание 20 (b0726f93-ca86-452e-ad27-77994ac0b80f)

В разработке находится новый навык Алисы — игра-головоломка. Вот её правила: Алиса называет два натуральных числа — *текущее* и *цель*. Два игрока по очереди могут увеличивать *текущее* число **на 2**, или **на 3**, или **в 2 раза**. При этом **запрещено повторять ход соперника**. Алиса запоминает новое *текущее* число. Побеждает игрок, первым получивший число не меньше числа *цель*. Будем говорить, что у игрока выигрышная стратегия, если он может выиграть при любых ходах противника. Число *цель* равно 131. Определите два **наибольших** возможных значения *текущего* числа, названного Алисой, при которых у первого игрока будет выигрышная стратегия, причём одновременно должны выполняться два условия: - первый игрок не может выиграть за один ход - первый игрок выигрывает своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить второй Примечание. Первым назван тот игрок, который ходит первым. Числа в ответе записать по возрастанию.

Задание 21 (7f1e94c6-e0a6-4d7f-83d5-9ad430faf1bd)

В разработке находится новый навык Алисы — игра-головоломка. Вот её правила: Алиса называет два натуральных числа — *текущее* и *цель*. Два игрока по очереди могут увеличивать *текущее* число **на 2**, или **на 3**, или **в 2 раза**. При этом **запрещено повторять ход соперника**. Алиса запоминает новое *текущее* число. Побеждает игрок, первым получивший число не меньше числа *цель*. Будем говорить, что у игрока выигрышная стратегия, если он может выиграть при любых ходах противника. Найдите **минимально** возможное *текущее* число, названное Алисой, если число *цель* равно 131 и одновременно выполняются два условия: - у второго игрока есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре первого игрока - у второго игрока нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом Примечание. Первым назван тот игрок, который ходит первым.

Связка 66

Одна куча камней task_series_id: 9fbf3501-b77a-4360-b1b9-8d58aa506763

Задание 19 (4be8eb33-506c-4c17-88a9-9e214b8f1f51)

**Петя** и **Ваня** решили поиграть. Перед ними лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может: * убрать из кучи **три** камня * убрать из кучи **четыре** камня * уменьшить количество камней в куче в **два** раза (с округлением в меньшую сторону) Например, из кучи в 55 камней за один ход можно получить кучу из 52, 51 или 27 камней. Игра завершается, когда количество камней в куче становится не более 15. Победителем считается игрок, который сделал последний ход, то есть в результате его действия в куче стало 15 камней или меньше. До начала игры в куче было $S$ камней, $S \ge 16$. У игрока выигрышная стратегия, если он может выиграть при любых ходах противника. Укажите **максимальное** значение $S$, при котором Петя не может выиграть за один ход, но при любом ходе Пети Ваня может выиграть своим первым ходом.

Задание 20 (bf988b1a-cd51-4b76-8a95-2e1dfad40b7d)

**Петя** и **Ваня** решили поиграть. Перед ними лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может: * убрать из кучи **три** камня * убрать из кучи **четыре** камня * уменьшить количество камней в куче в **два** раза (с округлением в меньшую сторону) Например, из кучи в 55 камней за один ход можно получить кучу из 52, 51 или 27 камней. Игра завершается, когда количество камней в куче становится не более 15. Победителем считается игрок, который сделал последний ход, то есть в результате его действия в куче стало 15 камней или меньше. До начала игры в куче было $S$ камней, $S \ge 16$. У игрока выигрышная стратегия, если он может выиграть при любых ходах противника. Найдите **наименьшее** и **наибольшее** значения $S$, при которых у Пети есть выигрышная стратегия, причём одновременно выполняются два условия: * Петя не может выиграть за один ход * Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня Найденные значения запишите в ответе в порядке возрастания.

Задание 21 (79eed1f8-2546-4a90-8d5d-c88b0d39128b)

**Петя** и **Ваня** решили поиграть. Перед ними лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может: * убрать из кучи **три** камня * убрать из кучи **четыре** камня * уменьшить количество камней в куче в **два** раза (с округлением в меньшую сторону) Например, из кучи в 55 камней за один ход можно получить кучу из 52, 51 или 27 камней. Игра завершается, когда количество камней в куче становится не более 15. Победителем считается игрок, который сделал последний ход, то есть в результате его действия в куче стало 15 камней или меньше. До начала игры в куче было $S$ камней, $S \ge 16$. У игрока выигрышная стратегия, если он может выиграть при любых ходах противника. Найдите **минимальное** значение $S$, при котором одновременно выполняются два условия: * у Вани есть выигрышная стратегия, которая позволит ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети * у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом

Связка 67

Одна куча камней task_series_id: a43fcbfa-0240-49d9-b93e-051fdde12787

Задание 19 (b5c42a4c-47bf-4f44-94ee-48a41f9e8313)

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может убрать из кучи 5 камней или убрать ровно половину камней из кучи (в случае если число камней нечётное, то результат целочисленного деления кучи на 2 + 1, то есть с округлением в большую сторону). Игра завершается в тот момент, когда камней в куче не останется. Победителем считается игрок, сделавший последний ход. В начальный момент в куче было S камней; 1 ≤ S ≤ 50. Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника. Укажите максимальное значение *S*, при котором Петя выигрывает первым ходом.

Задание 20 (e8659395-cc54-4918-bc86-d3d70362a071)

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может убрать из кучи 5 камней или убрать ровно половину камней из кучи (в случае если число камней нечётное, то результат целочисленного деления кучи на 2 + 1, то есть с округлением в большую сторону). Игра завершается в тот момент, когда камней в куче не останется. Победителем считается игрок, сделавший последний ход. В начальный момент в куче было S камней; 1 ≤ S ≤ 50. Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника. Найдите наибольшее значение S, при котором Ваня выигрывает после неудачного хода Пети, но не при любом ходе Пети.

Задание 21 (0f4c9100-b851-4dfa-a96e-4e87343dbf0e)

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может убрать из кучи 5 камней или убрать ровно половину камней из кучи (в случае если число камней нечётное, то в куче остаётся результат целочисленного деления на 2 + 1, то есть с округлением в большую сторону). Игра завершается в тот момент, когда камней в куче не останется. Победителем считается игрок, сделавший последний ход. В начальный момент в куче было S камней; 1 ≤ S ≤ 50. Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника. Найдите наибольшее значение *S*, при котором у Пети есть выигрышная стратегия, причём одновременно выполняются два условия: * Петя не может выиграть за один ход; * Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня.

Связка 68

Одна куча камней task_series_id: aae02824-a219-4d32-af93-301411102b27

Задание 19 (6136e238-7e58-4354-9944-2d298734fd83)

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в кучу 3 камня, 10 камней или увеличить количество камней в 2 раза. У каждого игрока есть неограниченное количество камней, чтобы делать ходы. Игра завершается в тот момент, когда количество камней в куче становится не менее 61. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, т. е. первым получивший кучу из 61 или более камней. В начальный момент в куче было *S* камней; *1 ≤ S ≤ 60*. Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника. Укажите минимальное значение *S*, при котором Петя выигрывает первым ходом.

Задание 20 (223b559e-9e49-41af-a1bf-c1c345965564)

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в кучу 3 камня, 10 камней или увеличить количество камней в 2 раза. У каждого игрока есть неограниченное количество камней, чтобы делать ходы. Игра завершается в тот момент, когда количество камней в куче становится не менее 61. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, т. е. первым получивший кучу из 61 или более камней. В начальный момент в куче было *S* камней; *1 ≤ S ≤ 60*. Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника. Найдите наименьшее значение *S*, при котором Ваня выигрывает после неудачного хода Пети.

Задание 21 (c6a9389a-c4d6-4cfd-8fd5-2ba5de8a40d0)

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в кучу 3 камня, 10 камней или увеличить количество камней в 2 раза. У каждого игрока есть неограниченное количество камней, чтобы делать ходы. Игра завершается в тот момент, когда количество камней в куче становится не менее 61. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, т. е. первым получивший кучу из 61 или более камней. В начальный момент в куче было *S* камней; *1 ≤ S ≤ 60*. Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника. Найдите наименьшее и наибольшее значение *S*, при котором у Пети есть выигрышная стратегия, причём одновременно выполняются два условия: * Петя не может выиграть за один ход; * Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня.

Связка 69

Одна куча камней task_series_id: b1ae5bfb-f656-486d-9875-121e149376cc

Задание 19 (30f824fd-5daa-4360-a115-5662cf35f7be)

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может убрать из кучи один камень, либо, если в куче 4 или больше камней, он может убрать четыре камня, либо, если количество камней в куче кратно трём, он может уменьшить количество камней в куче в три раза. Игра завершается в тот момент, когда количество камней в куче становится не более 1. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, т. е. первым получивший кучу из 1 камня или меньше. В начальный момент в куче было S камней; 4 ≤ S ≤ 100. Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника. Укажите **минимальное** значение S, при котором Петя не может выиграть за один ход, но при любом ходе Пети Ваня может выиграть своим первым ходом.

Задание 20 (d51aae40-6960-42f4-a8b6-9495a0fbc356)

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может убрать из кучи один камень, либо, если в куче 4 или больше камней, он может убрать четыре камня, либо, если количество камней в куче кратно трём, он может уменьшить количество камней в куче в три раза. Игра завершается в тот момент, когда количество камней в куче становится не более 1. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, т. е. первым получивший кучу из 1 камня или меньше. В начальный момент в куче было S камней; 4 ≤ S ≤ 100. Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника. Найдите два **наименьших** значения S, при которых у Пети есть выигрышная стратегия, причём одновременно выполняются два условия: - Петя не может выиграть за один ход; - Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня. Найденные значения запишите в ответе в порядке возрастания.

Задание 21 (2a4b232e-b972-4eab-a984-022587be6a60)

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может убрать из кучи один камень, либо, если в куче 4 или больше камней, он может убрать четыре камня, либо, если количество камней в куче кратно трём, он может уменьшить количество камней в куче в три раза. Игра завершается в тот момент, когда количество камней в куче становится не более 1. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, т. е. первым получивший кучу из 1 камня или меньше. В начальный момент в куче было S камней; 4 ≤ S ≤ 100. Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника. Найдите **минимальное** значение *S*, при котором одновременно выполняются два условия: - у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети; - у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом.

Связка 70

Одна куча камней task_series_id: b348b3bc-f904-4c04-8e2b-f6b1640ea780

Задание 19 (08429360-8179-4a65-88b9-4f2d6c6fbb5d)

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может: * убрать из кучи 3 камня; * убрать из кучи 8 камней; * уменьшить количество камней в куче в 3 раза (количество камней, полученное при делении, округляется до меньшего). Например, из кучи в 20 камней за один ход можно получить кучу из 17, 12 или 6 камней. Игра завершается, когда количество камней в куче становится не более 16. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший кучу из 16 или менее камней. В начальный момент в куче было $S$ камней, $S \ge 17$. Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника. Укажите **минимальное** значение $S$, при котором Петя не может выиграть за один ход, но при любом ходе Пети Ваня может выиграть своим первым ходом.

Задание 20 (4f00bdcc-3b8e-4026-aa58-2ad820bf6a63)

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может: * убрать из кучи 3 камня; * убрать из кучи 8 камней; * уменьшить количество камней в куче в 3 раза (количество камней, полученное при делении, округляется до меньшего). Например, из кучи в 20 камней за один ход можно получить кучу из 17, 12 или 6 камней. Игра завершается, когда количество камней в куче становится не более 16. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший кучу из 16 или менее камней. В начальный момент в куче было $S$ камней, $S \ge 17$. Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника. Найдите два **наименьших** значения $S$, при которых у Пети есть выигрышная стратегия, причём одновременно выполняются два условия: * Петя не может выиграть за один ход; * Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня. Найденные значения запишите в ответе в порядке возрастания.

Задание 21 (5a745751-1cc9-45c7-ba0a-0c68a26f6df7)

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может: * убрать из кучи 3 камня; * убрать из кучи 8 камней; * уменьшить количество камней в куче в 3 раза (количество камней, полученное при делении, округляется до меньшего). Например, из кучи в 20 камней за один ход можно получить кучу из 17, 12 или 6 камней. Игра завершается, когда количество камней в куче становится не более 16. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший кучу из 16 или менее камней. В начальный момент в куче было $S$ камней, $S \ge 17$. Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника. Найдите **минимальное** значение $S$, при котором одновременно выполняются два условия: * у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети; * у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом.

Связка 71

Одна куча камней task_series_id: b8699806-5bdc-4afc-8d32-a8621ae27cd2

Задание 19 (758335c3-2024-4c90-84da-5b4f0a7f57ed)

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в кучу один камень, добавить два камня или увеличить количество камней в куче в два раза. При этом удвоение разрешено выполнять, только если в куче в данный момент нечётное число камней. Например, если в начале игры в куче 3 камня, Петя может первым ходом получить кучу из 4, 5 или 6 камней. Если Петя получил кучу из 4 камней (добавил один камень), то следующим ходом Ваня может получить 5 или 6 камней. Получить 8 камней Ваня не может, так как нельзя удваивать кучу с чётным числом камней. Чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество камней. Игра завершается, когда количество камней в куче становится не менее 22. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший кучу, в которой будет 22 или больше камней. В начальный момент в куче было S камней, $1~⩽~S~⩽~21$. Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника. Укажите такое значение S, при котором у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть вторым ходом при любой игре Пети, но у Вани нет стратегии, которая позволяла бы ему гарантированно выиграть первым ходом.

Задание 20 (6eb8b25a-5713-4c83-9d31-51b4f7b2b3b3)

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в кучу один камень, добавить два камня или увеличить количество камней в куче в два раза. При этом удвоение разрешено выполнять, только если в куче в данный момент нечётное число камней. Например, если в начале игры в куче 3 камня, Петя может первым ходом получить кучу из 4, 5 или 6 камней. Если Петя получил кучу из 4 камней (добавил один камень), то следующим ходом Ваня может получить 5 или 6 камней. Получить 8 камней Ваня не может, так как нельзя удваивать кучу с чётным числом камней. Чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество камней. Игра завершается, когда количество камней в куче становится не менее 22. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший кучу, в которой будет 22 или больше камней. В начальный момент в куче было S камней, $1~⩽~S~⩽~21$. Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника. Укажите два значения S, при которых Петя не может выиграть за один ход, но у Пети есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть вторым ходом. В ответе запишите найденные значения в порядке возрастания: сначала меньшее, затем большее.

Задание 21 (53e7da7e-535a-4595-86a7-7514392a5003)

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в кучу один камень, добавить два камня или увеличить количество камней в куче в два раза. При этом удвоение разрешено выполнять, только если в куче в данный момент нечётное число камней. Например, если в начале игры в куче 3 камня, Петя может первым ходом получить кучу из 4, 5 или 6 камней. Если Петя получил кучу из 4 камней (добавил один камень), то следующим ходом Ваня может получить 5 или 6 камней. Получить 8 камней Ваня не может, так как нельзя удваивать кучу с чётным числом камней. Чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество камней. Игра завершается, когда количество камней в куче становится не менее 22. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший кучу, в которой будет 22 или больше камней. В начальный момент в куче было S камней, $1~⩽~S~⩽~21$. Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника. Найдите наименьшее значение S, при котором у Пети есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть третьим ходом при любой игре Вани, но у Пети нет стратегии, которая позволяла бы ему гарантированно выиграть первым или вторым ходом.

Связка 72

Одна куча камней task_series_id: ba720da6-280d-4a1d-b5d5-323fb3c1178d

Задание 19 (c90b9598-f3ff-49ee-9799-24e2e49c900e)

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может а) **Уменьшить** количество камней на 3; б) **Уменьшить** количество камней на 2; в) **Уменьшить** количество камней в 4 раза; Шаг «в» можно использовать только в случае, когда в куче число камней кратно 4. К примеру: из 80 камней можно получить 78, 77 и 20; из 85 камней можно получить 83 и 82. Игра завершается в том случае, когда в куче остается меньше 32 камней. Победителем считается игрок, совершивший последний ход. В начальный момент в куче было S камней (S > 31) Определите **максимальное значение** S, при котором Ваня выигрывает своим первым ходом, независимо от того, как будет ходить Петя.

Задание 20 (204e4bff-7448-4d61-b11e-cabe7e787132)

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может а) **Уменьшить** количество камней на 3; б) **Уменьшить** количество камней на 2; в) **Уменьшить** количество камней в 4 раза. Шаг «в» можно использовать только в случае, когда в куче число камней кратно 4. К примеру: из 80 камней можно получить 78, 77 и 20; из 85 камней можно получить 83 и 82. Игра завершается в том случае, когда в куче остается меньше 32 камней. Победителем считается игрок, совершивший последний ход. В начальный момент в куче было S камней (S > 31) Определите **максимальное** и **минимальное** значения, при которых у Пети есть выигрышная стратегия, причём одновременно выполняются два условия: - Петя не может выиграть за один ход; - Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня. В ответ укажите числа в возрастающем порядке.

Задание 21 (e055834f-a9e5-4fc8-a677-963f120236cd)

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может а) **Уменьшить** количество камней на 3; б) **Уменьшить** количество камней на 2; в) **Уменьшить** количество камней в 4 раза. Шаг «в» можно использовать только в случае, когда в куче число камней кратно 4. К примеру: из 80 камней можно получить 78, 77 и 20; из 85 камней можно получить 83 и 82. Игра завершается в том случае, когда в куче остается меньше 32 камней. Победителем считается игрок, совершивший последний ход. В начальный момент в куче было S камней (S > 31). Определите **минимальное** значение S, при котором одновременно выполняются два условия: - у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети; - у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом.

Связка 73

Одна куча камней task_series_id: bc0cd151-0acf-4ec7-b3ce-aabd70a9a9d5

Задание 19 (5c0cecfb-4885-4773-8172-c22714dcfa10)

Петя и Ваня решили поиграть. На доске перед ними записан ряд идущих подряд натуральных чисел. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может заменить два наибольших числа их суммой. Выигрывает игрок, после хода которого одно из чисел становится не меньше 100. В начальный момент на доске записаны числа от 1 до S включительно, $14~\le~S \le~99$. Будем говорить, что у игрока *выигрышная стратегия*, если он может выиграть при любых ходах противника. Укажите **минимальное** значение S, при котором Петя не может выиграть за один ход, но после хода Пети Ваня может выиграть своим первым ходом.

Задание 20 (654db60f-44f1-4194-a128-c6b24e141acd)

Петя и Ваня решили поиграть. На доске перед ними записан ряд идущих подряд натуральных чисел. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может заменить два наибольших числа их суммой. Выигрывает игрок, после хода которого одно из чисел становится не меньше 100. В начальный момент на доске записаны числа от 1 до S включительно, $14~\le~S \le~99$. Будем говорить, что у игрока *выигрышная стратегия*, если он может выиграть при любых ходах противника. Найдите **минимальное** и **максимальное** значения $S$, при которых у Пети есть выигрышная стратегия, причём одновременно выполняются два условия: * Петя не может выиграть за один ход * Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня Найденные значения запишите в ответе в порядке возрастания.

Задание 21 (8e98957d-fbf5-452e-bbc2-3493fa88ba7b)

Петя и Ваня решили поиграть. На доске перед ними записан ряд идущих подряд натуральных чисел. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может заменить два наибольших числа их суммой. Выигрывает игрок, после хода которого одно из чисел становится не меньше 100. В начальный момент на доске записаны числа от 1 до S включительно, $14~\le~S \le~99$. Будем говорить, что у игрока *выигрышная стратегия*, если он может выиграть при любых ходах противника. Найдите **минимальное** значение $S$, при котором одновременно выполняются два условия: * у Вани есть выигрышная стратегия, которая позволит ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети * у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом

Связка 74

Одна куча камней task_series_id: c51183bb-fbbb-4b72-bbd5-76025c12d323

Задание 19 (2255605d-573c-47e7-9238-64e94999e5f5)

Два игрока, Кузнец и Садовник, решили поиграть. Перед ними лежит куча камней количеством $1<S<65000$. Каждый игрок может добавить в кучу 1, 2, 4, 8, 16 или 32 камня, а также увеличить количество камней в 3, 9, или 27 раз. Первый ход совершает Кузнец. Победителем считается игрок, после хода которого в куче оказалось 65535 или более камней. Определите минимальное начальное количество камней (S) в куче при условии, что Кузнец не мог выиграть своим первым ходом, но при любом ходе Кузнеца Садовник может выиграть своим первым ходом.

Задание 20 (9de65d89-8124-4fae-8741-6499d46de92b)

Два игрока, Кузнец и Садовник, решили поиграть. Перед ними лежит куча камней количеством $1<S<65000$. Каждый игрок может добавить в кучу 1, 2, 4, 8, 16 или 32 камня, а также увеличить количество камней в 3, 9, или 27 раз. Первый ход совершает Кузнец. Победителем считается игрок, после хода которого в куче оказалось 65535 или более камней. Укажите минимальное и максимальное начальное количество камней в куче, если одновременно выполняются два условия: - Кузнец не может выиграть за один ход - Кузнец может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как играет Садовник В ответ запишите сначала минимальное, затем максимальное значение.

Задание 21 (ae28f114-8982-4a91-a50b-1db3e3f71983)

Два игрока, Кузнец и Садовник, решили поиграть. Перед ними лежит куча камней количеством $1<S<65000$. Каждый игрок может добавить в кучу 1, 2, 4, 8, 16 или 32 камня, а также увеличить количество камней в 3, 9, или 27 раз. Первый ход совершает Кузнец. Победителем считается игрок, после хода которого в куче оказалось 65535 или более камней. Укажите начальное количество камней в куче, если одновременно выполняются два условия: - у Садовника есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Кузнеца - у Садовника нет стратегии, позволяющей ему гарантированно выиграть первым ходом

Связка 75

Одна куча камней task_series_id: cb6e2c7e-103f-4d11-aac7-201e4ef54b8d

Задание 19 (4eca9f6e-1537-425f-94ef-3c3f3851b73d)

Полина и Вика решили поиграть. Перед ними лежит куча камней. Девочки ходят по очереди, первый ход делает Полина. За один ход игрок может **добавить в кучу 7 камней или увеличить количество камней в 3 раза**. Для того чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество камней. Игра завершается в тот момент, когда количество камней в куче становится не менее 342. Победителем считается игрок, который сделал последний ход, т. е. первым получил такую позицию, при которой в куче будет 342 или больше камней. В начальный момент в куче — S камней; 1 ≤ S ≤ 300. Будем говорить, что у игрока выигрышная стратегия, если он может выиграть при любых ходах противника. Укажите **наибольшее** значение S, при котором Полина не может выиграть за один ход, но при любом ходе Полины Вика может выиграть своим первым ходом.

Задание 20 (38485058-e6a2-4b9c-a4f8-751c543929b0)

Полина и Вика решили поиграть. Перед ними лежит куча камней. Девочки ходят по очереди, первый ход делает Полина. За один ход игрок может **добавить в кучу 7 камней или увеличить количество камней в 3 раза**. Для того чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество камней. Игра завершается в тот момент, когда количество камней в куче становится не менее 342. Победителем считается игрок, который сделал последний ход, т. е. первым получил такую позицию, при которой в куче будет 342 или больше камней. В начальный момент в куче — S камней; 1 ≤ S ≤ 300. Будем говорить, что у игрока выигрышная стратегия, если он может выиграть при любых ходах противника. Найдите два таких **минимальных** значения S, при которых у Полины есть выигрышная стратегия, причём одновременно выполняются два условия: - Полина не может выиграть за один ход; - Полина может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Вика. Найденные значения запишите в ответе в порядке возрастания.

Задание 21 (8948ef4f-05e7-4ffb-9660-4ff316d4a9f0)

Полина и Вика решили поиграть. Перед ними лежит куча камней. Девочки ходят по очереди, первый ход делает Полина. За один ход игрок может **добавить в кучу 7 камней или увеличить количество камней в 3 раза**. Для того чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество камней. Игра завершается в тот момент, когда количество камней в куче становится не менее 342. Победителем считается игрок, который сделал последний ход, т. е. первым получил такую позицию, при которой в куче будет 342 или больше камней. В начальный момент в куче — S камней; 1 ≤ S ≤ 300. Будем говорить, что у игрока выигрышная стратегия, если он может выиграть при любых ходах противника. Найдите максимальное значение S, при котором одновременно выполняются два условия: - у Вики есть выигрышная стратегия, позволяющая ей выиграть первым или вторым ходом при любой игре Полины; - у Вики нет стратегии, которая позволит ей гарантированно выиграть первым ходом.

Связка 76

Одна куча камней task_series_id: cd8812e0-8bb6-4090-ab97-b345cf9a4943

Задание 19 (0e523f54-fb95-416c-aed4-2157ac5eddd4)

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в кучу **один** камень или увеличить количество камней в куче в **два раза**. Для того чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество камней. Игра завершается в тот момент, когда количество камней в куче становится не менее 129. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, т. е. первым получивший кучу из 129 или больше камней. В начальный момент в куче было S камней, $1 \le S \le 128$. Будем говорить, что игрок имеет *выигрышную стратегию*, если он может выиграть при любых ходах противника. Укажите минимальное значение S, при котором Петя не может выиграть за один ход, но при любом ходе Пети Ваня может выиграть своим первым ходом.

Задание 20 (03e72e53-0f4f-4c21-a1c3-896a4f722006)

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в кучу **один** камень или увеличить количество камней в куче в **два раза**. Для того чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество камней. Игра завершается в тот момент, когда количество камней в куче становится не менее 129. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, т. е. первым получивший кучу из 129 или больше камней. В начальный момент в куче было S камней, $1 \le S \le 128$. Будем говорить, что игрок имеет *выигрышную стратегию*, если он может выиграть при любых ходах противника. Найдите два наименьших значения S, при которых у Пети есть выигрышная стратегия, причём одновременно выполняются два условия: * Петя не может выиграть за один ход; * Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня. Найденные значения запишите в ответе в порядке возрастания.

Задание 21 (b3445822-3400-4558-83fc-040cd7613ba8)

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в кучу **один** камень или увеличить количество камней в куче в **два раза**. Для того чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество камней. Игра завершается в тот момент, когда количество камней в куче становится не менее 129. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, т. е. первым получивший кучу из 129 или больше камней. В начальный момент в куче было S камней, $1 \le S \le 128$. Будем говорить, что игрок имеет *выигрышную стратегию*, если он может выиграть при любых ходах противника. Найдите минимальное значение S, при котором одновременно выполняются два условия: * у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети; * у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом. Если найдено несколько значений S, в ответе запишите **минимальное** из них.

Связка 77

Одна куча камней task_series_id: e2c5b3f4-3768-42ec-a0d8-0f11e1dbc74b

Задание 19 (bfb5b91d-f2a4-4191-8423-e3d81c910b77)

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в кучу 5 камней или увеличить количество камней в 3 раза. У каждого игрока есть неограниченное количество камней, чтобы делать ходы. Игра завершается в тот момент, когда количество камней в куче становится не менее 64. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, т. е. первым получивший кучу из 64 или более камней. В начальный момент в куче было *S* камней; *1 ≤ S ≤ 63*. Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника. Укажите минимальное значение *S*, при котором Петя выигрывает первым ходом.

Задание 20 (289963b9-9fe4-4674-b7b1-8232cfc3a265)

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в кучу 5 камней или увеличить количество камней в 3 раза. У каждого игрока есть неограниченное количество камней, чтобы делать ходы. Игра завершается в тот момент, когда количество камней в куче становится не менее 64. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, т. е. первым получивший кучу из 64 или более камней. В начальный момент в куче было *S* камней; *1 ≤ S ≤ 63*. Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника. Найдите наименьшее значение *S*, при котором Ваня выигрывает после неудачного хода Пети

Задание 21 (2d3938fc-19f5-485f-afca-2de4c230112c)

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в кучу 5 камней или увеличить количество камней в 3 раза. У каждого игрока есть неограниченное количество камней, чтобы делать ходы. Игра завершается в тот момент, когда количество камней в куче становится не менее 64. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, т. е. первым получивший кучу из 64 или более камней. В начальный момент в куче было *S* камней; *1 ≤ S ≤ 63*. Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника. Найдите наибольшее значение *S*, при котором у Пети есть выигрышная стратегия, причём одновременно выполняются два условия: * Петя не может выиграть за один ход; * Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня.

Связка 78

Одна куча камней task_series_id: eb0dc977-42b8-44ec-913d-5bd297aa12b0

Задание 19 (e16ed1e2-4b73-4fd2-bcb4-b873490464cd)

**Петя** и **Ваня** решили поиграть. Перед ними лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может: * убрать из кучи **два** камня * убрать из кучи **четыре** камня * уменьшить количество камней в куче в **два** раза (с округлением в большую сторону) Например, из кучи в 39 камней за один ход можно получить кучу из 37, 35 или 20 камней. Игра завершается, когда количество камней в куче становится не более 35. Победителем считается игрок, который сделал последний ход, то есть в результате его действия в куче стало 35 камней или меньше. До начала игры в куче было $S$ камней, $S \ge 36$. У игрока выигрышная стратегия, если он может выиграть при любых ходах противника. Укажите минимальное значение $S$, при котором Петя не может выиграть за один ход, но при любом ходе Пети Ваня может выиграть своим первым ходом.

Задание 20 (c68d87ec-ffc0-4820-a1fc-57144c895047)

**Петя** и **Ваня** решили поиграть. Перед ними лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может: * убрать из кучи **два** камня * убрать из кучи **четыре** камня * уменьшить количество камней в куче в **два** раза (с округлением в большую сторону) Например, из кучи в 39 камней за один ход можно получить кучу из 37, 35 или 20 камней. Игра завершается, когда количество камней в куче становится не более 35. Победителем считается игрок, который сделал последний ход, то есть в результате его действия в куче стало 35 камней или меньше. До начала игры в куче было $S$ камней, $S \ge 36$. У игрока выигрышная стратегия, если он может выиграть при любых ходах противника. Найдите два наибольших значения $S$, при которых у Пети есть выигрышная стратегия, причём одновременно выполняются два условия: * Петя не может выиграть за один ход * Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня Найденные значения запишите в ответе в порядке возрастания.

Задание 21 (d0b9a479-a93e-47ee-883b-cddaf7179b31)

**Петя** и **Ваня** решили поиграть. Перед ними лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может: * убрать из кучи **два** камня * убрать из кучи **четыре** камня * уменьшить количество камней в куче в **два** раза (с округлением в большую сторону) Например, из кучи в 39 камней за один ход можно получить кучу из 37, 35 или 20 камней. Игра завершается, когда количество камней в куче становится не более 35. Победителем считается игрок, который сделал последний ход, то есть в результате его действия в куче стало 35 камней или меньше. До начала игры в куче было $S$ камней, $S \ge 36$. У игрока выигрышная стратегия, если он может выиграть при любых ходах противника. Найдите значение $S$, при котором одновременно выполняются два условия: * у Вани есть выигрышная стратегия, которая позволяет ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети * у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом Если найдено несколько значений $S$, в ответе запишите наименьшее из них.

Связка 79

Одна куча камней task_series_id: f40ee221-52f9-48a9-b0ed-8d6672b58dd6

Задание 19 (4e818c6c-fa1a-4ebb-ba24-75b75e000a63)

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может: * убрать из кучи 3 камня, * убрать из кучи 7 камней, * уменьшить количество камней в куче в 3 раза (количество камней, полученное при делении, округляется до меньшего). Например, из кучи в 20 камней за один ход можно получить кучу из 17, 13 или 6 камней. У каждого игрока есть неограниченное количество камней, чтобы делать ходы. Игра завершается в тот момент, когда количество камней в куче становится не более 11. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, т. е. первым получивший в куче 11 камней или меньше. В начальный момент в куче было $S$ камней, $S \gt 11$. Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника. Укажите **минимальное** значение $S$, когда Петя не может выиграть за один ход, но при этом Ваня может выиграть своим первым ходом при любой игре Пети.

Задание 20 (fc6aee7a-7a8b-416e-895a-1c0f66113ef1)

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может: * убрать из кучи 3 камня, * убрать из кучи 7 камней, * уменьшить количество камней в куче в 3 раза (количество камней, полученное при делении, округляется до меньшего). Например, из кучи в 20 камней за один ход можно получить кучу из 17, 13 или 6 камней. У каждого игрока есть неограниченное количество камней, чтобы делать ходы. Игра завершается в тот момент, когда количество камней в куче становится не более 11. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, т. е. первым получивший в куче 11 камней или меньше. В начальный момент в куче было $S$ камней, $S \gt 11$. Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника. Найдите **два наименьших** значения $S$, при которых у Пети есть выигрышная стратегия, причём одновременно выполняются два условия: * Петя не может выиграть за один ход; * Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня. Найденные значения запишите в ответе в порядке возрастания.

Задание 21 (48663d2d-7667-4c7c-9251-7cbd078f1975)

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может: * убрать из кучи 3 камня, * убрать из кучи 7 камней, * уменьшить количество камней в куче в 3 раза (количество камней, полученное при делении, округляется до меньшего). Например, из кучи в 20 камней за один ход можно получить кучу из 17, 13 или 6 камней. У каждого игрока есть неограниченное количество камней, чтобы делать ходы. Игра завершается в тот момент, когда количество камней в куче становится не более 11. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, т. е. первым получивший в куче 11 камней или меньше. В начальный момент в куче было $S$ камней, $S \gt 11$. Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника. Найдите **минимальное** значение $S$, при котором одновременно выполняются два условия: * у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети; * у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом.

Связка 80

Одна куча камней task_series_id: fea60e4b-d200-44fa-bade-1ce88f44f879

Задание 19 (8da733dc-ba39-4414-a518-04c59e4d6cf5)

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в кучу 1 камень, 2 камня или увеличить количество камней в 2 раза. У каждого игрока есть неограниченное количество камней, чтобы делать ходы. Игра завершается в тот момент, когда количество камней в куче становится не менее 41. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, т. е. первым получивший кучу из 41 или более камней. В начальный момент в куче было *S* камней; *1 ≤ S ≤ 40*. Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника. Укажите минимальное значение *S*, при котором Петя выигрывает первым ходом.

Задание 20 (5d2574b7-c358-4e9b-9f68-38378031c10b)

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в кучу 1 камень, 2 камня или увеличить количество камней в 2 раза. У каждого игрока есть неограниченное количество камней, чтобы делать ходы. Игра завершается в тот момент, когда количество камней в куче становится не менее 41. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, т. е. первым получивший кучу из 41 или более камней. В начальный момент в куче было *S* камней; *1 ≤ S ≤ 40*. Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника. Найдите наименьшее значение *S*, при котором у Ваня выигрывает после неудачного хода Пети.

Задание 21 (ce4489a1-36f0-42e1-acb8-40e0bd6b336d)

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в кучу 1 камень, 2 камня или увеличить количество камней в 2 раза. У каждого игрока есть неограниченное количество камней, чтобы делать ходы. Игра завершается в тот момент, когда количество камней в куче становится не менее 41. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, т. е. первым получивший кучу из 41 или более камней. В начальный момент в куче было *S* камней; *1 ≤ S ≤ 40*. Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника. Найдите наименьшее и наибольшее значение *S*, при котором у Пети есть выигрышная стратегия, причём одновременно выполняются два условия: * Петя не может выиграть за один ход; * Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня.

Яндекс ЕГЭ информатика: связки 19-20-21

Связка 1