Учимся доказывать равенство треугольников
Три признака равенства, соответствие вершин и переход от равенства треугольников к равенству их элементов. Каждый вариант занимает два листа.
Два варианта. Задания и ответы скачиваются отдельно. Бесплатно, без регистрации.
HTML можно сохранить, открыть без интернета и изменить в текстовом редакторе. PDF предназначены для печати на A4. Для работы онлайн выберите тренажёр внизу страницы.
Учимся доказывать равенство треугольников — вариант А / лист 1
Имя __________________________ Дата __________
В каждом доказательстве назовите треугольники, запишите три равенства с причинами и укажите признак. Равенства нельзя устанавливать по внешнему виду рисунка.
Схема к заданиям 2 и 6. Условия рассматриваются отдельно.
- Дано: AB = DE, BC = EF, ∠ABC = ∠DEF. Докажите, что треугольники ABC и DEF равны. Назовите соответствующие вершины.
- В треугольнике ABC дано AB = AC. D — середина BC. Докажите равенство треугольников ABD и ACD, затем равенство углов BAD и CAD.
- Дано: AB = DE, ∠BAC = ∠EDF, ∠ABC = ∠DEF. По какому признаку равны треугольники ABC и DEF? Объясните.
Учимся доказывать равенство треугольников — вариант А / лист 2
Имя __________________________ Дата __________
В каждом доказательстве назовите треугольники, запишите три равенства с причинами и укажите признак. Равенства нельзя устанавливать по внешнему виду рисунка.
Схема к заданиям 2 и 6. Условия рассматриваются отдельно.
- Дано: AB = DE, AC = DF, ∠ABC = ∠DEF. Можно ли по этим данным применить первый признак? Чего для него не хватает?
- Дано: AB = DE = 5 см, BC = EF = 6 см, AC = DF = 7 см. Равны ли треугольники ABC и DEF? Укажите основание.
- В треугольнике ABC дано AB = AC. Точка D лежит на BC, а AD — биссектриса угла BAC. Докажите BD = DC.
Учимся доказывать равенство треугольников — вариант Б / лист 1
Имя __________________________ Дата __________
В каждом доказательстве назовите треугольники, запишите три равенства с причинами и укажите признак. Равенства нельзя устанавливать по внешнему виду рисунка.
Схема к заданиям 2 и 6. Условия рассматриваются отдельно.
- Дано: KL = PQ, LM = QR, ∠KLM = ∠PQR. Докажите, что треугольники KLM и PQR равны. Назовите соответствующие вершины.
- В треугольнике KLM дано KL = KM. N — середина LM. Докажите равенство треугольников KLN и KMN, затем равенство углов LKN и MKN.
- Дано: KL = PQ, ∠LKM = ∠QPR, ∠KLM = ∠PQR. По какому признаку равны треугольники KLM и PQR? Объясните.
Учимся доказывать равенство треугольников — вариант Б / лист 2
Имя __________________________ Дата __________
В каждом доказательстве назовите треугольники, запишите три равенства с причинами и укажите признак. Равенства нельзя устанавливать по внешнему виду рисунка.
Схема к заданиям 2 и 6. Условия рассматриваются отдельно.
- Дано: KL = PQ, KM = PR, ∠KLM = ∠PQR. Можно ли по этим данным применить первый признак? Чего для него не хватает?
- Дано: KL = PQ = 4 см, LM = QR = 7 см, KM = PR = 8 см. Равны ли треугольники KLM и PQR? Укажите основание.
- В треугольнике KLM дано KL = KM. Точка N лежит на LM, а KN — биссектриса угла LKM. Докажите LN = NM.
Ответы и рекомендации учителю
Учимся доказывать равенство треугольников
Ответы — вариант А
- AB = DE и BC = EF по условию; ∠ABC = ∠DEF — углы между этими сторонами. Треугольники ABC и DEF равны по первому признаку. A ↔ D, B ↔ E, C ↔ F.
- AB = AC по условию; BD = CD по определению середины; AD = AD — общая сторона. Треугольники ABD и ACD равны по третьему признаку. ∠BAD = ∠CAD как соответствующие углы равных треугольников.
- По второму: равны сторона AB = DE и два прилежащих к ней угла (при A и B, при D и E).
- Нет. Угол ABC не лежит между сторонами AB и AC. Для первого признака нужно ∠BAC = ∠EDF. Две стороны и угол не между ними не дают общего признака равенства.
- Да, по третьему признаку: три стороны одного треугольника соответственно равны трём сторонам другого.
- AB = AC по условию; AD — общая сторона; ∠BAD = ∠DAC по определению биссектрисы. Треугольники ABD и ACD равны по первому признаку. BD = DC как соответствующие стороны.
Ответы — вариант Б
- KL = PQ и LM = QR по условию; ∠KLM = ∠PQR — углы между этими сторонами. Треугольники KLM и PQR равны по первому признаку. K ↔ P, L ↔ Q, M ↔ R.
- KL = KM по условию; LN = MN по определению середины; KN = KN — общая сторона. Треугольники KLN и KMN равны по третьему признаку. ∠LKN = ∠MKN как соответствующие углы.
- По второму: равны сторона KL = PQ и два прилежащих к ней угла (при K и L, при P и Q).
- Нет. Угол KLM не лежит между сторонами KL и KM. Для первого признака нужно ∠LKM = ∠QPR. Две стороны и угол не между ними не дают общего признака равенства.
- Да, по третьему признаку: три стороны одного треугольника соответственно равны трём сторонам другого.
- KL = KM по условию; KN — общая сторона; ∠LKN = ∠NKM по определению биссектрисы. Треугольники KLN и KMN равны по первому признаку. LN = NM как соответствующие стороны.
Как провести
Работа рассчитана на знакомство со всеми тремя признаками. В №1 и №3 ученик называет признаки, в №2 и №6 строит доказательство. Перед №4 попросите показать, где лежит угол между названными сторонами. Если три факта записаны, но вывод не получается, предложите выписать пары соответствующих вершин.
Как проверить
№1, №3, №5: по 1 баллу за верный признак с тремя равенствами. №2: 1 за общую сторону, 1 за три равенства и третий признак, 1 за вывод об углах. №4: 1 за ответ и 1 за объяснение. №6: 1 за три равенства и первый признак, 1 за вывод о сторонах. Всего 10 баллов.
Что повторить
Путает вершины: выписать соответствие; забывает общую сторону: обвести её; применяет первый признак к углу не между сторонами: показать обе стороны угла; делает вывод по рисунку: вернуться к условию и определениям.