Простейшие тригоно­метрические уравнения, 10 класс

Что проверяет работа

Этот комплект посвящён первым шагам: уравнениям sin x = 0, sin x = 1, cos x = 1 и cos x = −1. В контрольной добавляется tg x = 0. Во всех заданиях нужно указать корни на заданном полуинтервале длиной 2π. Основная цель — связать положение точки на окружности, период функции и включение границ промежутка.

• Находить нули синуса на заданном промежутке.
• Выбирать точки, в которых косинус равен 1 или −1.
• Находить угол с синусом 1 и переносить его на следующие обороты.
• В контрольной — определять нули тангенса с периодом π.
• Записывать полный конечный набор корней, соблюдая границы полуинтервала.

Что нужно знать перед проверкой

• Радианная мера угла, полный оборот 2π и положения основных точек окружности.
• Значения синуса и косинуса при углах, кратных π/2, и условие существования тангенса.
• Чтение промежутка [a; b): левая граница входит, правая не входит.

Место в школьной программе

Простейшие тригонометрические уравнения входят в старшую школьную алгебру, обычно в курс 10 класса. В карте Алимова 10–11 соответствующий материал расположен в параграфах 33–36. Данный комплект охватывает только специальные значения синуса, косинуса и тангенса с отбором на промежутке; проводить его можно после изучения этих случаев. Это авторские задания MathExam, не копия работ по Алимову и не полная контрольная по тригонометрии.

Посмотрите задания перед скачиванием

Первые два задания самостоятельной, вариант 1. Полная работа с местом для решения — в PDF.

1. Решите sin x = 0 на промежутке [0π; 2π).

   Посмотреть решение

   Нули синуса — целые кратные π. На полуинтервале находятся 0π и 1π; правый конец не включён.

   Ответ: x = 0π; x = 1π.

2. Решите cos x = 1 на промежутке [0π; 2π).

   Посмотреть решение

   Косинус равен 1 на чётных кратных π. В данном полуинтервале подходит только левый конец.

   Ответ: x = 0π.

Как провести и проверить

1. Перед работой отметьте на окружности четыре основные точки и проверьте, что учащиеся различают горизонтальную координату cos x и вертикальную sin x.
2. Попросите сначала записать подходящие углы одного оборота, затем перенести их на заданный промежуток.
3. При проверке отдельно оцените полноту списка и соблюдение границ: верный угол может быть лишним, если он совпал с исключённым правым концом.
4. После разбора предложите объяснить, почему нули тангенса повторяются через π, хотя полный оборот окружности равен 2π.

Самостоятельная: 1 + 1 + 2 + 2 = 6 баллов. Контрольная: 5 заданий по 2 балла = 10 баллов. Подробные критерии и предлагаемая шкала отметок находятся в файлах с решениями. Время ориентировочное; его можно изменить с учётом класса.

Типичные ошибки и работа над ними

• В ответ включён правый конец полуинтервала.

  Перенесите [a; b) на числовую прямую: закрасьте левую точку и оставьте правую пустой. Сверьте каждый корень с этим условием.

• При sin x = 0 записан один корень за полный оборот.

  Найдите обе точки окружности с вертикальной координатой 0 и сопоставьте им углы выбранного оборота.

• У тангенса использован период 2π и потеряна половина корней.

  Проверьте tg 0 и tg π через отношение sin x / cos x. В обеих точках числитель равен нулю, знаменатель ненулевой.

Подготовка и разбор ошибок в тренажёрах

• Числовая окружность

  Показать углы нескольких оборотов и связать числовую прямую с точками окружности.

• Уравнение sin x = a — по шагам

  Разобрать серии решений и отбор корней после базовых случаев.

• Уравнение tg x = a

  Повторить период тангенса и допустимость найденных углов.

Другие работы для уроков

• Арифметическая прогрессия: самостоятельная и контрольная работа, 9 класс
• Производная: самостоятельная и контрольная работа для 11 класса
• Квадратные корни: самостоятельная и контрольная работа, 8 класс

К этому комплекту в общем каталоге · Все классы и темы